ОДЗ: область допустимых значений

ОДЗ нужна, чтобы понимать, при каких значениях переменной выражение имеет смысл. В задачах ЕГЭ это особенно важно в дробях, корнях, логарифмах и тригонометрии. Если не учесть ОДЗ, можно получить лишние корни или выполнить недопустимое преобразование.

Что такое ОДЗ

\(\textbf{Область допустимых значений}\) — это множество всех значений переменной, при которых выражение определено.

Например, выражение

\[\frac{1}{x-3}\]

имеет смысл при всех \(x\), кроме \(x=3\), потому что знаменатель не может быть равен нулю. Значит,

\[x\ne 3.\]

ОДЗ записывают до решения или во время решения задачи, когда появляется ограничение на переменную.

Знаменатель не равен нулю

Если переменная стоит в знаменателе, нужно потребовать, чтобы знаменатель не обращался в ноль:

\[B\ne 0.\]

Например, для выражения

\[\frac{x+5}{x^2-9}\]

получаем условие:

\[x^2-9\ne 0.\]

Разложим знаменатель:

\[(x-3)(x+3)\ne 0.\]

Значит,

\[x\ne 3, \quad x\ne -3.\]

Это и есть ограничения для данного выражения.

Корень чётной степени

Подкоренное выражение у корня чётной степени должно быть неотрицательным:

\[\sqrt{A}\]

имеет смысл, если

\[A\ge 0.\]

Например, для выражения

\[\sqrt{x-4}\]

нужно записать:

\[x-4\ge 0.\]

Отсюда

\[x\ge 4.\]

Если корень стоит в знаменателе, нужно объединить два условия: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а весь знаменатель не должен быть равен нулю.

Например,

\[\frac{1}{\sqrt{x-2}}\]

имеет смысл при

\[x-2>0.\]

Значит,

\[x>2.\]

Здесь знак строгий, потому что при \(x=2\) знаменатель равен нулю.

Логарифмы

Логарифм

\[\log_a b\]

имеет смысл, если выполнены условия:

\[b>0, \quad a>0, \quad a\ne 1.\]

Здесь \(b\) — аргумент логарифма, а \(a\) — основание.

Например, для выражения

\[\log_2(x-5)\]

ОДЗ задаётся условием:

\[x-5>0.\]

Значит,

\[x>5.\]

Если основание тоже содержит переменную, условия записываются и для аргумента, и для основания:

\[\log_{x-1}(x+3).\]

Тогда

\[x+3>0,\]\[x-1>0,\]\[x-1\ne 1.\]

Отсюда:

\[x>-3,\]\[x>1,\]\[x\ne 2.\]

Итоговая ОДЗ:

\[x>1, \quad x\ne 2.\]

Тригонометрические выражения

Для большинства школьных тригонометрических выражений достаточно помнить, что \(\sin x\) и \(\cos x\) определены при всех \(x\).

Но у тангенса и котангенса есть ограничения:

\[\tg x=\frac{\sin x}{\cos x},\]

поэтому

\[\cos x\ne 0.\]\[\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x},\]

поэтому

\[\sin x\ne 0.\]

Также ограничения появляются, если тригонометрическая функция стоит в знаменателе. Например,

\[\frac{1}{\sin x}\]

имеет смысл при

\[\sin x\ne 0.\]

Как находить ОДЗ в задачах

Чтобы найти ОДЗ, нужно просмотреть исходное выражение и выписать все ограничения:

1. Знаменатели не равны нулю.
2. Подкоренные выражения у корней чётной степени неотрицательны.
3. Аргументы логарифмов положительны.
4. Основания логарифмов положительны и не равны \(1\).
5. Тангенс, котангенс и дроби с тригонометрическими выражениями требуют своих ограничений.

Если ограничений несколько, нужно найти их общее пересечение.

Например, для выражения

\[\frac{\sqrt{x-1}}{x-4}\]

получаем два условия:

\[x-1\ge 0,\]\[x-4\ne 0.\]

Значит,

\[x\ge 1, \quad x\ne 4.\]

Главное

ОДЗ показывает, при каких значениях переменной выражение имеет смысл. Знаменатель не должен быть равен нулю. Подкоренное выражение у корня чётной степени должно быть неотрицательным. Аргумент логарифма должен быть положительным, а основание логарифма — положительным и не равным \(1\). Если в выражении несколько ограничений, нужно учитывать их все одновременно. ОДЗ обычно находят до основных преобразований, чтобы не получить лишние решения.