Обыкновенные и десятичные дроби: действия и преобразования

Дроби нужны для записи частей целого и чисел, которые не всегда удобно выражать натуральными числами. В профильной математике дроби встречаются почти во всех разделах: в уравнениях, неравенствах, функциях, текстовых задачах, вероятности и вычислениях. Уверенное владение дробями помогает не терять баллы из-за арифметических ошибок.

Обыкновенная дробь

\(\textbf{Обыкновенная дробь}\) — это запись числа в виде \(\frac{a}{b},\) где \(a\) — \(\textbf{числитель}\), \(b\) — \(\textbf{знаменатель}\), причём \(b \ne 0\).

Числитель показывает, сколько частей взяли, а знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое. Например, дробь \(\frac{3}{5}\) означает, что целое разделили на \(5\) равных частей и взяли \(3\) такие части.

Дробь может быть:

- \(\textbf{правильной}\), если числитель меньше знаменателя: \(\frac{2}{7}\);
- \(\textbf{неправильной}\), если числитель больше или равен знаменателю: \(\frac{9}{4}\), \(\frac{5}{5}\);
- \(\textbf{смешанным числом}\), если есть целая часть и дробная часть: \(2\frac{1}{3}\).

Смешанное число можно перевести в неправильную дробь:

\[2\frac{1}{3}=\frac{2\cdot 3+1}{3}=\frac{7}{3}.\]

Неправильную дробь можно представить как смешанное число:

\[\frac{11}{4}=2\frac{3}{4}.\]

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится:

\[\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}, \quad k\ne 0.\]

Например,

\[\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{10}{15}.\]

На этом свойстве основаны \(\textbf{сокращение дробей}\) и \(\textbf{приведение дробей к общему знаменателю}\).

Сократить дробь — значит разделить числитель и знаменатель на их общий делитель. Например,

\[\frac{18}{24}=\frac{18:6}{24:6}=\frac{3}{4}.\]

Дробь \(\frac{3}{4}\) уже несократима, потому что числа \(3\) и \(4\) не имеют общих делителей, кроме \(1\).

Сложение и вычитание обыкновенных дробей

Если знаменатели одинаковые, складываются или вычитаются только числители:

\[\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c},\]\[\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}.\]

Например,

\[\frac{5}{9}+\frac{2}{9}=\frac{7}{9}.\]

Если знаменатели разные, дроби сначала приводят к общему знаменателю. Например,

\[\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{3}{12}+\frac{8}{12}=\frac{11}{12}.\]

При вычитании правило такое же:

\[\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{10}{12}-\frac{3}{12}=\frac{7}{12}.\]

Здесь важно не складывать знаменатели. Запись \(\frac{1}{4}+\frac{2}{3}=\frac{3}{7}\) неверна.

Умножение и деление обыкновенных дробей

При умножении дробей числитель умножается на числитель, а знаменатель — на знаменатель:

\[\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.\]

Например,

\[\frac{3}{5}\cdot \frac{10}{9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}.\]

Перед умножением часто удобно выполнить сокращение крест-накрест:

\[\frac{3}{5}\cdot \frac{10}{9}=\frac{1}{1}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{3}.\]

Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь:

\[\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}, \quad c\ne 0.\]

Например,

\[\frac{7}{8}:\frac{21}{16}=\frac{7}{8}\cdot \frac{16}{21}=\frac{2}{3}.\]

Обратная дробь к \(\frac{c}{d}\) равна \(\frac{d}{c}\), если \(c\ne 0\).

Десятичные дроби

\(\textbf{Десятичная дробь}\) — это дробь, записанная с помощью запятой, где знаменатель равен \(10\), \(100\), \(1000\) и так далее.

Например,

\[0{,}7=\frac{7}{10}, \quad 2{,}35=\frac{235}{100}, \quad 0{,}008=\frac{8}{1000}.\]

Цифры после запятой показывают десятые, сотые, тысячные и следующие разряды. Например, в числе \(4{,}126\) цифра \(1\) стоит в разряде десятых, \(2\) — сотых, \(6\) — тысячных.

Десятичные дроби удобно складывать и вычитать столбиком: запятая записывается под запятой. Например,

\[3{,}7+12{,}45=16{,}15.\]

Можно дописать ноль: \(3{,}7=3{,}70\). Тогда сложение становится понятнее:

\[3{,}70+12{,}45=16{,}15.\]

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить числитель на знаменатель:

\[\frac{3}{4}=3:4=0{,}75.\]

Некоторые дроби дают конечную десятичную дробь, например \(\frac{1}{2}=0{,}5\), \(\frac{7}{20}=0{,}35\). Некоторые дают бесконечную периодическую дробь:

\[\frac{1}{3}=0{,}333\ldots=0{,}(3).\]

В школьных задачах часто достаточно понимать, какая запись удобнее. Например, \(\frac{1}{8}=0{,}125\), но \(\frac{1}{7}=0{,}(142857)\), поэтому такую дробь обычно оставляют в обыкновенном виде.

Конечная десятичная дробь получается тогда, когда после сокращения дроби в знаменателе остаются только множители \(2\) и \(5\). Например,

\[\frac{3}{40}\]

можно записать конечной десятичной дробью, потому что \(40=2^3\cdot 5\).

Преобразование десятичной дроби в обыкновенную

Чтобы перевести конечную десятичную дробь в обыкновенную, нужно записать число без запятой в числитель, а в знаменатель поставить \(10\), \(100\), \(1000\) и так далее. Затем дробь нужно сократить.

Например,

\[0{,}48=\frac{48}{100}=\frac{12}{25}.\]

Если число содержит целую часть, она тоже учитывается:

\[3{,}125=\frac{3125}{1000}=\frac{25}{8}=3\frac{1}{8}.\]

Десятичные дроби со знаком минус преобразуются так же, знак сохраняется:

\[-0{,}6=-\frac{6}{10}=-\frac{3}{5}.\]

Действия с десятичными дробями

При сложении и вычитании десятичных дробей числа записывают так, чтобы запятые стояли друг под другом. Например,

\[15{,}2-3{,}76=15{,}20-3{,}76=11{,}44.\]

При умножении десятичных дробей сначала умножают числа без запятых, а затем отделяют справа столько цифр, сколько их было после запятой во всех множителях вместе:

\[1{,}2\cdot 0{,}3=0{,}36.\]

Здесь в первом множителе одна цифра после запятой и во втором одна цифра после запятой, всего две цифры. Поэтому в ответе отделяются две цифры справа.

При делении на десятичную дробь удобно перенести запятую в делимом и делителе на одинаковое количество знаков так, чтобы делитель стал целым числом:

\[4{,}8:0{,}6=48:6=8.\]\[0{,}125:0{,}05=12{,}5:5=2{,}5.\]

Значение частного при таком переносе запятой не меняется, потому что делимое и делитель умножаются на одно и то же число.

Как применять в задачах

В задачах важно выбирать удобный вид записи числа. Если требуется точное вычисление, часто лучше работать с обыкновенными дробями. Например,

\[\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}.\]

Если числа уже даны в десятичном виде и вычисления простые, удобнее оставить десятичную запись:

\[2{,}5\cdot 4=10.\]

При сравнении дробей можно привести их к общему знаменателю или перевести в десятичную форму. Например,

\[\frac{3}{8}=0{,}375, \quad \frac{2}{5}=0{,}4,\]

поэтому \(\frac{3}{8}<\frac{2}{5}\).

В выражениях с несколькими действиями сохраняется обычный порядок: сначала скобки, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. Например,

\[\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.\]

Главное

Обыкновенная дробь имеет вид \(\frac{a}{b}\), где \(b\ne 0\). Значение дроби не меняется, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями их нужно привести к общему знаменателю. При умножении дробей перемножаются числители и знаменатели, а при делении нужно умножить на обратную дробь. Десятичные дроби удобно использовать в вычислениях, но не каждую обыкновенную дробь можно записать конечной десятичной дробью. В задачах лучше выбирать тот вид дроби, который делает вычисления проще и снижает риск ошибки.