Нули функции, знаки функции и промежутки знакопостоянства

При исследовании функции важно понимать, где она обращается в нуль, где принимает положительные значения, а где отрицательные. Это помогает решать уравнения и неравенства, строить графики и быстро анализировать поведение функции.

Самое главное

\(\textbf{Нулём функции}\) называют значение \(x\), при котором

\[f(x)=0.\]

Геометрически это абсцисса точки пересечения графика с осью \(Ox\).

\(\textbf{Знак функции}\) показывает, где функция положительна и где отрицательна:

— если \(f(x)>0\), график расположен выше оси \(Ox\);
— если \(f(x)<0\), график расположен ниже оси \(Ox\).

\(\textbf{Промежутки знакопостоянства}\) — это промежутки, на которых знак функции не меняется: функция всё время положительна или всё время отрицательна.

Например, для функции

\[f(x)=(x+2)(x-1)\]

нули находятся из уравнения

\[(x+2)(x-1)=0.\]

Отсюда

\[x=-2, \qquad x=1.\]

На промежутках

\[(-\infty;-2), \qquad (-2;1), \qquad (1;+\infty)\]

знак функции постоянен.

Нули функции

Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение

\[f(x)=0.\]

Если функция задана формулой, это обычное уравнение.  
Если функция задана графиком, нули находят как точки пересечения графика с осью \(Ox\).

Например, для функции

\[f(x)=x^2-4\]

получаем

\[x^2-4=0,\]\[(x-2)(x+2)=0.\]

Следовательно,

\[x=-2, \qquad x=2.\]

Значит, функция имеет два нуля.

Если график вообще не пересекает ось \(Ox\), функция не имеет нулей.

Если график касается оси \(Ox\) и снова уходит в ту же сторону, это тоже нуль функции, но знак при этом может не измениться.

Знаки функции

Чтобы определить знак функции, нужно выяснить, на каких промежутках она выше оси \(Ox\), а на каких ниже.

По графику это делается сразу:

— выше оси \(Ox\) — функция положительна;
— ниже оси \(Ox\) — функция отрицательна;
— на самой оси \(Ox\) — функция равна нулю.

Если функция задана формулой, обычно сначала находят её нули, а затем отмечают полученные точки на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на промежутки. На каждом таком промежутке знак функции сохраняется.

Рассмотрим функцию

\[f(x)=(x+2)(x-1).\]

Нули уже найдены:

\[x=-2, \qquad x=1.\]

Теперь определим знак на каждом промежутке.

1. При \(x<-2\), например при \(x=-3\),

\[f(-3)=(-3+2)(-3-1)=(-1)\cdot(-4)>0.\]

2. При \(-2<x<1\), например при \(x=0\),

\[f(0)=(0+2)(0-1)=2\cdot(-1)<0.\]

3. При \(x>1\), например при \(x=2\),

\[f(2)=(2+2)(2-1)=4\cdot1>0.\]

Значит,

\[f(x)>0 \quad \text{при} \quad x\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty),\]\[f(x)<0 \quad \text{при} \quad x\in(-2;1).\]

Промежутки знакопостоянства

\(\textbf{Промежутками знакопостоянства}\) называют промежутки, на которых функция сохраняет один и тот же знак.

В предыдущем примере промежутки знакопостоянства такие:

— положительна на \((-\infty;-2)\) и \((1;+\infty);\)

— отрицательна на \((-2;1).\)

На самих точках \(x=-2\) и \(x=1\) функция равна нулю, поэтому они не входят в промежутки положительности и отрицательности.

Как знак связан с множителями

Если функция записана в виде произведения, знак удобно определять по знакам множителей.

Например,

\[f(x)=(x-3)(x+1)(x-2).\]

Нули функции:

\[x=3,\qquad x=-1,\qquad x=2.\]

Числовая прямая разбивается на промежутки:

\[(-\infty;-1),\qquad (-1;2),\qquad (2;3),\qquad (3;+\infty).\]

Далее можно подставлять пробные точки или расставлять знаки множителей отдельно, а потом перемножать их.

Если корень имеет чётную кратность

Важно помнить: если нуль функции получается из множителя чётной степени, знак функции при переходе через этот нуль может не измениться.

Например, для функции

\[f(x)=(x-2)^2(x+1)\]

нули такие:

\[x=-1,\qquad x=2.\]

Но при \(x=2\) множитель \((x-2)^2\) имеет чётную степень, поэтому знак при переходе через точку \(2\) не меняется.

Это полезно при исследовании графика:

— если график \(\textbf{пересекает}\) ось \(Ox\), знак обычно меняется;
— если график \(\textbf{касается}\) оси \(Ox\), знак может сохраниться.

Как находить знаки по графику

Если график уже дан, удобнее действовать так:

1. найти точки пересечения с осью \(Ox\);
2. разбить ось \(Ox\) этими точками;
3. посмотреть, где ветви графика расположены выше, а где ниже оси;
4. записать промежутки положительности и отрицательности.

Например, если парабола направлена вверх и пересекает ось \(Ox\) в двух точках, то между корнями она отрицательна, а вне корней — положительна.

Главное

Нули функции — это значения \(x\), при которых \(f(x)=0\). По графику это точки пересечения с осью \(Ox\). Знак функции определяют по расположению графика относительно оси \(Ox\): выше оси функция положительна, ниже — отрицательна. Промежутки знакопостоянства — это промежутки, на которых знак функции не меняется. Если функция задана формулой, сначала находят нули, затем определяют знак на каждом промежутке. При корне чётной кратности знак может не меняться.