Неравенства

Определение линейных неравенств

Линейные неравенства - это неравенства вида (или сводящиеся к этому виду неравенства) ax + b ∨ 0, где ∨ - обобщение знаков сравнения (≤, ≥, >, <); a, b - числа.

Область допустимых значений x (ОДЗ) линейных неравенств - все вещественные числа (x ∈ ℝ).

Общее правило решения линейных неравенств

1. Для того, чтобы решить линейное неравенство, нам нужно привести его к виду ax ∨ −b. Для этого необходимо перенести число b в право.

2. Если коэффициент a перед x - положительный, то неравенство равносильно x ∨ −b/a. Это значит, что после деления обеих частей неравенства на a знак неравенства не меняется.

3. Если коэффициент a перед x - отрицательный, то неравенство равносильно x ∧ −b/a. Это значит, что после деления обеих частей неравенства на a знак неравенства меняется на противоположный.

4. Если a = 0, то неравенство равносильно 0 ∨ −b, что либо верно при всех значениях переменной x, например, если это 0 > −1, либо неверно ни при каких значениях x, например, если это 0 ≤ −3. В этом случае ответом будут либо x ∈ ℝ, либо x ∈ ∅.

Замечания:

• Заметим, что знаку ≤ противоположен знак ≥, а знаку < противоположен знак >. И наоборот.

• Если знак неравенства нестрогий (≤, ≥), то точка на прямой закрашенная, а если строгий (>, <) - точка выколота.

• Закрашенная точка в ответе записывается в квадратной скобке «[» или «]», а выколотая в круглой «(» или «)».

Метод интервалов

Метод интервалов - специальный алгоритм решения для сложных неравенств вида f(x) > 0. При этом знак неравенства может быть любым.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов

1. Переносим все слагаемые в левую часть и, если нужно, то приводим их к общему знаменателю.

2. Найти нули функции, для этого необходимо решить уравнение f(x) = 0.

3. Раскладываем выражение на множители и делаем так, чтобы все скобки были «хорошими».

Мы будем называть числовой множитель «хорошим», если он положителен;

Линейная скобка будет «хорошей», если коэффициент при x положителен;

Квадратичный трёхчлен будет «хорошим», если его D < 0 и коэффициент при x² положителен.

4. Начертить числовую прямую и отметить на ней все полученные корни. Таким образом, числовая прямая разобьется на интервалы.

5. Определить знаки на каждом интервале. Для этого необходимо подставить любое удобное значение в f(x) и определить, какой знак будет иметь функция на данном интервале.

На самом правом промежутке ставим знак «+», так как все скобки выражения являются «хорошими».

Далее будем идти справа налево и, проходя через каждую точку, определять знаки промежутков. При этом если все скобки «хорошие» и каждая входит в левую часть один раз, то знаки на интервалах будут чередоваться. То есть: на самом правом интервале будет «+», на следующем «-», далее «+» и так далее.