Натуральные и целые числа: свойства, делимость, НОД и НОК

Натуральные и целые числа используются в задачах на вычисления, делимость, остатки, разложение на множители, НОД и НОК. Эти темы часто встречаются в базовой алгебре, арифметике, текстовых задачах и задачах с целыми значениями переменных.

Главная идея раздела проста: нужно понимать, какие числа рассматриваются, когда одно число делится на другое и как находить общие делители и общие кратные.

Натуральные числа

\(\textbf{Натуральные числа}\) — это числа, которые используются при счёте:

\[N = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}.\]

В школьном курсе обычно считают, что \(0\) не относится к натуральным числам. Если нужно рассматривать натуральные числа вместе с нулём, используют запись \(N_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\).

Натуральные числа можно складывать и умножать, и результат снова будет натуральным числом. Например, если \(a \in N\) и \(b \in N\), то \(a + b \in N\) и \(a\cdot b \in N\).

Но при вычитании это свойство уже не всегда выполняется. Например, \(3 - 5 = -2\), а число \(-2\) не является натуральным.

Целые числа

\(\textbf{Целые числа}\) — это натуральные числа, противоположные им числа и ноль:

\[Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}.\]

Например, \(-7 \in Z\), \(0 \in Z\), \(15 \in Z\).

Множество натуральных чисел входит в множество целых чисел:

\[N \subset Z.\]

Это означает, что каждое натуральное число является целым, но не каждое целое число является натуральным. Например, число \(-4\) является целым, но не является натуральным.

Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения. Если \(a \in Z\) и \(b \in Z\), то \(a + b \in Z\), \(a - b \in Z\), \(ab \in Z\). При делении результат не всегда является целым: например, \(5 : 2 = 2{,}5\), а это уже не целое число.

Делимость

Говорят, что целое число \(a\) \(\textbf{делится}\) на целое число \(b\), где \(b \ne 0\), если существует такое целое число \(k\), что

\[a = bk.\]

В этом случае пишут \(b \mid a\). Эта запись читается так: «\(b\) делит \(a\)» или «\(a\) делится на \(b\)».

Например, \(3 \mid 12\), потому что \(12 = 3 \cdot 4\). Но \(5 \nmid 12\), потому что не существует целого числа \(k\), при котором \(12 = 5k\).

Если \(b \mid a\), то число \(b\) называется \(\textbf{делителем}\) числа \(a\), а число \(a\) называется \(\textbf{кратным}\) числа \(b\).

Например, делителями числа \(12\) являются \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(12\). Числа \(12\), \(24\), \(36\), \(48\) являются кратными числа \(12\).

Основные свойства делимости

Если \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) — целые числа, то для делимости выполняются следующие свойства.

Если \(a \mid b\) и \(b \mid c\), то \(a \mid c\). Например, \(2 \mid 6\) и \(6 \mid 18\), значит, \(2 \mid 18\).

Если \(d \mid a\) и \(d \mid b\), то \(d \mid (a + b)\) и \(d \mid (a - b)\). Например, \(3 \mid 12\) и \(3 \mid 21\), значит, \(3 \mid 33\) и \(3 \mid 9\).

Если \(d \mid a\), то \(d \mid ak\) при любом целом \(k\). Например, если \(5 \mid 20\), то \(5 \mid 20k\) при любом \(k \in Z\).

Эти свойства часто используют при доказательствах делимости и при упрощении выражений с целыми числами.

Признаки делимости

\(\textbf{Признаки делимости}\) позволяют быстро определить, делится ли число на другое число без полного деления.

Число делится на \(2\), если его последняя цифра чётная: \(0\), \(2\), \(4\), \(6\), \(8\). Например, \(148\) делится на \(2\).

Число делится на \(5\), если оно оканчивается на \(0\) или \(5\). Например, \(235\) делится на \(5\).

Число делится на \(10\), если оно оканчивается на \(0\). Например, \(430\) делится на \(10\).

Число делится на \(3\), если сумма его цифр делится на \(3\). Например, \(246\) делится на \(3\), потому что \(2 + 4 + 6 = 12\), а \(12\) делится на \(3\).

Число делится на \(9\), если сумма его цифр делится на \(9\). Например, \(729\) делится на \(9\), потому что \(7 + 2 + 9 = 18\), а \(18\) делится на \(9\).

Число делится на \(4\), если число, образованное двумя последними цифрами, делится на \(4\). Например, \(1316\) делится на \(4\), потому что \(16\) делится на \(4\).

Простые и составные числа

Натуральное число, большее \(1\), называется \(\textbf{простым}\), если оно имеет ровно два натуральных делителя: \(1\) и само это число.

Например, \(2\), \(3\), \(5\), \(7\), \(11\), \(13\) — простые числа.

Натуральное число, большее \(1\), называется \(\textbf{составным}\), если оно имеет больше двух натуральных делителей.

Например, \(12\) — составное число, потому что оно делится на \(1,2,3,4,6,12.\)

Число \(1\) не является ни простым, ни составным. У него только один натуральный делитель — само число \(1\).

Разложение на простые множители

Любое натуральное число, большее \(1\), можно представить в виде произведения простых множителей.

Например:

\[60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5.\]

Такая запись называется \(\textbf{разложением на простые множители}\). Она удобна при нахождении НОД и НОК.

Например:

\[84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7,\]

потому что \(84 = 4 \cdot 3 \cdot 7\).

При разложении важно довести все множители до простых чисел. Запись \(84 = 4 \cdot 21\) не является полным разложением на простые множители, потому что \(4\) и \(21\) — составные числа.

НОД

\(\textbf{Наибольший общий делитель}\) двух натуральных чисел — это наибольшее натуральное число, на которое делятся оба числа.

Обозначение:

\[\operatorname{НОД}(a; b).\]

Например, найдём \(\operatorname{НОД}(18; 24)\). Делители числа \(18\): \(1\), \(2\), \(3\), \(6\), \(9\), \(18\). Делители числа \(24\): \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(12\), \(24\). Общие делители: \(1\), \(2\), \(3\), \(6\). Самый большой из них — \(6\). Значит, \(\operatorname{НОД}(18; 24) = 6\).

Для больших чисел удобнее использовать разложение на простые множители.

Например:

\[120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5,\]\[90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5.\]

Чтобы найти НОД, нужно взять только общие простые множители в наименьших степенях:

\[\operatorname{НОД}(120; 90) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30.\]

НОК

\(\textbf{Наименьшее общее кратное}\) двух натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба данных числа.

Обозначение:

\[\operatorname{НОК}(a; b).\]

Например, найдём \(\operatorname{НОК}(6; 8)\). Кратные числа \(6\): \(6\), \(12\), \(18\), \(24\), \(30\), \(\ldots\). Кратные числа \(8\): \(8\), \(16\), \(24\), \(32\), \(\ldots\). Наименьшее общее кратное — \(24\). Значит, \(\operatorname{НОК}(6; 8) = 24\).

Через разложение на простые множители НОК находится так: нужно взять все простые множители, которые встречаются в разложениях, в наибольших степенях.

Для чисел \(120\) и \(90\):

\[120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5,\]\[90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5.\]

Тогда

\[\operatorname{НОК}(120; 90) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360.\]

Связь между НОД и НОК

Для натуральных чисел \(a\) и \(b\) выполняется формула:

\[\operatorname{НОД}(a; b) \cdot \operatorname{НОК}(a; b) = ab.\]

Например, для чисел \(120\) и \(90\) имеем \(\operatorname{НОД}(120; 90) = 30\), \(\operatorname{НОК}(120; 90) = 360\). Тогда

\[30 \cdot 360 = 120 \cdot 90.\]

Эта формула удобна, если одно из двух значений уже известно.

Алгоритм Евклида

\(\textbf{Алгоритм Евклида}\) — это способ найти НОД двух чисел без разложения на простые множители.

Идея такая: большее число делят на меньшее с остатком, затем меньшее число делят на полученный остаток. Процесс продолжают до тех пор, пока остаток не станет равен нулю. Последний ненулевой остаток и будет НОД.

Например, найдём \(\operatorname{НОД}(252; 105)\):

\[252 = 105 \cdot 2 + 42,\]\[105 = 42 \cdot 2 + 21,\]\[42 = 21 \cdot 2 + 0.\]

Последний ненулевой остаток равен \(21\), значит, \(\operatorname{НОД}(252; 105) = 21\).

Главное

Натуральные числа записываются как \(N = \{1, 2, 3, \ldots\}\), а целые числа — как \(Z = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\). При этом \(N \subset Z\).

Запись \(b \mid a\) означает, что число \(a\) делится на \(b\), то есть существует целое \(k\), при котором \(a = bk\).

НОД двух чисел — это их наибольший общий делитель. НОК двух чисел — это их наименьшее общее кратное.

При разложении на простые множители НОД находят по общим множителям в наименьших степенях, а НОК — по всем множителям в наибольших степенях.

Для натуральных чисел \(a\) и \(b\) выполняется связь:

\[\operatorname{НОД}(a; b) \cdot \operatorname{НОК}(a; b) = ab.\]