Наибольшее и наименьшее значение функции

Наибольшее значение функции — это самое большое значение \(y\), которое принимает функция на заданном промежутке. Наименьшее значение — самое маленькое из её значений.

Если функция рассматривается на промежутке \(X\), то наибольшее и наименьшее значения обозначают так:

\[\max_{x\in X}f(x)\qquad\text{и}\qquad\min_{x\in X}f(x).\]

Здесь важно не путать точку и значение функции. Если наибольшее значение достигается при \(x=x_0\), то \(x_0\) — точка, в которой оно достигается, а \(f(x_0)\) — само наибольшее значение.

Чем наибольшее значение отличается от максимума

Точка максимума описывает поведение функции рядом с некоторой точкой. В ней функция сначала возрастает, а затем убывает.

Наибольшее значение сравнивается со всеми значениями функции на заданном промежутке.

Поэтому локальный максимум не всегда является наибольшим значением функции. Например, после точки максимума график может снова подняться и в конце промежутка оказаться ещё выше.

Наибольшее или наименьшее значение может достигаться:

— во внутренней критической точке промежутка;

— в точке, где производная не существует;

— на левом или правом конце отрезка.

Как найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Пусть функция \(f(x)\) задана на отрезке \([a;b]\).

Для поиска наибольшего и наименьшего значений нужно:

— найти производную \(f'(x)\);

— найти критические точки функции;

— выбрать только те критические точки, которые принадлежат отрезку \([a;b]\);

— вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка;

— сравнить все полученные числа.

Самое большое число будет наибольшим значением функции, а самое маленькое — наименьшим.

Проще говоря, сравниваются значения

\[f(a),\qquad f(b),\qquad f(x_1),\qquad f(x_2),\ldots,\]

где \(x_1,x_2,\ldots\) — критические точки, попавшие на заданный отрезок.

Нельзя проверять только точки, в которых \(f'(x)=0\). Наибольшее или наименьшее значение может находиться на конце отрезка.

Пример

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции

\[f(x)=-x^2+2x+3\]

на отрезке

\[[-1;4].\]

Сначала найдём производную:

\[f'(x)=-2x+2.\]

Найдём критические точки:

\[-2x+2=0.\]

Отсюда

\[x=1.\]

Точка \(x=1\) принадлежит заданному отрезку. Теперь нужно вычислить значения функции в этой точке и на концах отрезка:

\[f(-1)=-(-1)^2+2\cdot(-1)+3=0,\]

\[f(1)=-1^2+2\cdot1+3=4,\]

\[f(4)=-4^2+2\cdot4+3=-5.\]

Сравним полученные числа:

\[0,\qquad 4,\qquad -5.\]

Самое большое из них — \(4\), а самое маленькое — \(-5\). Следовательно,

\[\boxed{\max_{x\in[-1;4]}f(x)=4},\]

\[\boxed{\min_{x\in[-1;4]}f(x)=-5}.\]

Наибольшее значение достигается при \(x=1\), а наименьшее — при \(x=4\).

Если критическая точка не принадлежит отрезку

При вычислениях нужно учитывать только точки, находящиеся внутри заданного отрезка.

Например, если критическая точка равна \(x=5\), а функция исследуется на отрезке \([-2;3]\), точка \(x=5\) не участвует в сравнении.

В этом случае сравниваются только значения функции на концах отрезка и в остальных критических точках, принадлежащих отрезку.

Может ли наибольшее или наименьшее значение не существовать

На замкнутом отрезке \([a;b]\) непрерывная функция обязательно принимает наибольшее и наименьшее значения.

На открытом промежутке ситуация может быть другой. Например, функция

\[f(x)=x\]

на промежутке \((0;1)\) принимает значения, сколь угодно близкие к \(1\), но никогда не принимает само значение \(1\). Поэтому наибольшего значения на этом промежутке нет.

В заданиях ЕГЭ чаще всего требуется найти наибольшее или наименьшее значение непрерывной функции именно на отрезке.

Главное

— Наибольшее значение — самое большое значение функции на заданном промежутке.

— Наименьшее значение — самое маленькое значение функции на заданном промежутке.

— Локальный максимум не всегда является наибольшим значением функции.

— На отрезке нужно проверить критические точки и оба конца отрезка.

— В сравнении участвуют только точки, принадлежащие заданному промежутку.

— После вычисления всех значений выбирают самое большое и самое маленькое числа.

— Нужно различать точку \(x_0\) и значение функции \(f(x_0)\).