Модуль: уравнения, неравенства и графики

\(\textbf{Модуль числа}\) показывает расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Поэтому модуль всегда неотрицателен. Уравнения и неравенства с модулем обычно раскрывают по определению или переводят в равносильные системы и совокупности.

Основная идея

Для любого действительного числа \(x\)

\[|x|= \begin{cases} x, & x\ge0,\\ -x, & x<0. \end{cases}\]

Например,

\[|5|=5, \qquad |-5|=5.\]

График функции \(y=|x|\) состоит из двух лучей и имеет вершину в точке \((0;0)\). График функции

\[y=|x-a|+b\]

получается сдвигом графика \(y=|x|\): его вершина находится в точке \((a;b)\).

Главные переходы имеют вид:

\[|f(x)|=a \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=a \ \text{или}\ f(x)=-a,\]

если \(a>0\), и

\[|f(x)|<a \quad \Longleftrightarrow \quad -a<f(x)<a.\]

Модуль меньше числа внутри некоторого промежутка, а больше числа — за его пределами.

Уравнения с модулем

Рассмотрим уравнение

\[|f(x)|=a.\]

Количество решений зависит от числа \(a\).

Если \(a<0\), решений нет, поскольку модуль не может быть отрицательным.

Если \(a=0\), получаем

\[|f(x)|=0 \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=0.\]

Если \(a>0\), нужно решить совокупность:

\[\left[ \begin{array}{l} f(x)=a,\\ f(x)=-a. \end{array} \right.\]

Например:

\[|x-2|=3.\]

Это означает, что расстояние от числа \(x\) до числа \(2\) равно \(3\). Поэтому возможны два значения:

\[x-2=3\]

или

\[x-2=-3.\]

Отсюда

\[x=5\]

или

\[x=-1.\]

Если внутри модуля находится более сложное выражение, принцип остаётся тем же.

Например:

\[|2x-1|=5.\]

Получаем совокупность

\[\left[ \begin{array}{l} 2x-1=5,\\ 2x-1=-5. \end{array} \right.\]

Отсюда

\[x=3\]

или

\[x=-2.\]

Уравнения вида \(|f(x)|=g(x)\)

Левая часть такого уравнения всегда неотрицательна. Поэтому необходимо условие

\[g(x)\ge0.\]

После этого можно записать:

\[|f(x)|=g(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} g(x)\ge0,\\ f(x)=g(x) \end{cases}\]

или

\[\begin{cases} g(x)\ge0,\\ f(x)=-g(x). \end{cases}\]

Иначе говоря, сначала ограничивают значения \(x\), а затем раскрывают модуль двумя способами.

Неравенства с модулем

При \(a>0\) неравенство

\[|f(x)|<a\]

означает, что значение \(f(x)\) находится между \(-a\) и \(a\):

\[|f(x)|<a \quad \Longleftrightarrow \quad -a<f(x)<a.\]

Для нестрогого знака:

\[|f(x)|\le a \quad \Longleftrightarrow \quad -a\le f(x)\le a.\]

Например:

\[|x-2|<3.\]

Переходим к двойному неравенству:

\[-3<x-2<3.\]

Прибавим \(2\) ко всем частям:

\[-1<x<5.\]

Ответ:

\[x\in(-1;5).\]

Неравенства со знаками \(>\) и \(\ge\) задают значения за пределами промежутка:

\[|f(x)|>a \quad \Longleftrightarrow \quad \left[ \begin{array}{l} f(x)<-a,\\ f(x)>a, \end{array} \right.\]\[|f(x)|\ge a \quad \Longleftrightarrow \quad \left[ \begin{array}{l} f(x)\le-a,\\ f(x)\ge a. \end{array} \right.\]

Например:

\[|x-2|\ge3.\]

Получаем

\[x-2\le-3\]

или

\[x-2\ge3.\]

Отсюда

\[x\le-1\]

или

\[x\ge5.\]

Ответ:

\[x\in(-\infty;-1]\cup[5;+\infty).\]

При строгих знаках \(<\) и \(>\) граничные точки не входят в ответ. При нестрогих знаках \(\le\) и \(\ge\) они включаются.

Раскрытие модуля по промежуткам

Если выражение внутри модуля меняет знак, числовую прямую делят на промежутки.

Например, в выражении \(|x-3|\) подмодульное выражение равно нулю при \(x=3\). Поэтому

\[|x-3|= \begin{cases} 3-x, & x<3,\\ x-3, & x\ge3. \end{cases}\]

При нескольких модулях нужно найти нули всех подмодульных выражений и рассмотреть каждый полученный промежуток отдельно.

Графики функций с модулем

График \(y=|f(x)|\) строится по графику \(y=f(x)\):

— часть графика выше оси \(Ox\) остаётся без изменений;
— часть ниже оси \(Ox\) отражается вверх относительно этой оси.

В функции

\[y=f(|x|)\]

сначала оставляют часть исходного графика при \(x\ge0\), а затем симметрично отражают её относительно оси \(Oy\).

График функции

\[y=|x-a|+b\]

имеет вершину \((a;b)\). Число \(a\) отвечает за горизонтальный сдвиг, а число \(b\) — за вертикальный.

Главное

Модуль числа — это расстояние, поэтому он не может быть отрицательным. Уравнение \(|f(x)|=a\) при \(a>0\) распадается на два уравнения. Неравенства со знаками \(<\) и \(\le\) задают значения внутри промежутка, а со знаками \(>\) и \(\ge\) — снаружи. При раскрытии модуля нужно учитывать знак подмодульного выражения. В графике \(y=|f(x)|\) отрицательная часть исходного графика отражается вверх.