Метод интервалов

\(\textbf{Метод интервалов}\) используют для решения неравенств, которые можно привести к произведению или дроби:

\[\frac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0.\]

Основная идея проста: находят точки, в которых числитель или знаменатель равен нулю, делят ими числовую прямую на промежутки и определяют знак выражения на каждом промежутке.

Основная идея

Рассмотрим неравенство

\[\frac{(x+2)(x-1)}{x-3}\le0.\]

Критические точки получают из равенств

\[x+2=0, \qquad x-1=0, \qquad x-3=0.\]

Отсюда

\[x=-2, \qquad x=1, \qquad x=3.\]

Эти точки делят числовую прямую на промежутки:

\[(-\infty;-2),\quad (-2;1),\quad (1;3),\quad (3;+\infty).\]

На каждом промежутке знак выражения постоянен. После расстановки знаков выбирают промежутки, на которых дробь отрицательна или равна нулю:

\[x\in(-\infty;-2]\cup[1;3).\]

Точки \(-2\) и \(1\) включаются, потому что обращают числитель в нуль и знак неравенства нестрогий. Точка \(3\) исключается всегда, поскольку обращает знаменатель в нуль.

Приведение неравенства к нужному виду

Сначала все выражения переносят в одну часть:

\[F(x)\gtrless0.\]

Если есть несколько дробей, их приводят к общему знаменателю. После этого числитель и знаменатель раскладывают на множители.

Например:

\[\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}>0.\]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[\frac{x+1-2(x-1)}{(x-1)(x+1)}>0,\]\[\frac{3-x}{(x-1)(x+1)}>0.\]

Теперь можно находить критические точки и расставлять знаки.

Нельзя умножать неравенство на выражение с переменной, если его знак неизвестен. Например, умножение на \(x-1\) может потребовать изменения знака неравенства. Приведение к одной дроби позволяет избежать этой проблемы.

Критические точки

На числовой прямой отмечают два типа точек:

— \(\textbf{нули числителя}\) — значения, при которых всё выражение равно нулю;
— \(\textbf{нули знаменателя}\) — значения, при которых выражение не существует.

Если неравенство строгое, нули числителя не включаются:

\[F(x)>0, \qquad F(x)<0.\]

Если неравенство нестрогое, нули числителя включаются:

\[F(x)\ge0, \qquad F(x)\le0.\]

Нули знаменателя не входят в ответ ни при каком знаке неравенства.

Как определять знаки

После нанесения критических точек выбирают любое число из каждого промежутка и подставляют его в выражение. Достаточно определить только знак результата.

Например, для выражения

\[\frac{(x+2)(x-1)}{x-3}\]

на промежутке \((1;3)\) можно взять \(x=2\):

\[\frac{(2+2)(2-1)}{2-3} = \frac{4\cdot1}{-1}<0.\]

Значит, на всём промежутке \((1;3)\) выражение отрицательно.

Если выражение полностью разложено на линейные множители, знаки можно определять отдельно для каждого множителя, а затем перемножать.

Чередование знаков

Если все множители имеют первую степень, при прохождении через каждую критическую точку знак выражения меняется.

Например:

\[(x-1)(x-4)>0.\]

Критические точки: \(1\) и \(4\). Справа от числа \(4\) оба множителя положительны, поэтому произведение имеет знак \(+\). Затем знаки чередуются:

\[+\quad -\quad +.\]

Получаем

\[x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty).\]

Но чередование работает не всегда. Нужно учитывать степень множителя.

Кратность корня

Если множитель имеет нечётную степень, знак при переходе через его нуль меняется:

\[(x-a),\qquad (x-a)^3,\qquad (x-a)^5.\]

Если степень чётная, знак не меняется:

\[(x-a)^2,\qquad (x-a)^4.\]

Например, выражение

\[(x-1)^2(x+2)\]

не меняет знак при переходе через точку \(x=1\), потому что множитель \((x-1)^2\) имеет чётную степень.

Пример с кратным корнем

Решим неравенство

\[(x-2)^2(x+1)\le0.\]

Критические точки:

\[x=-1, \qquad x=2.\]

При \(x>2\) оба множителя неотрицательны, поэтому выражение положительно. При переходе через \(x=2\) знак не меняется, так как степень множителя чётная. При переходе через \(x=-1\) знак меняется.

Получаем знаки:

\[-\quad +\quad +.\]

По условию нужны отрицательные и нулевые значения:

\[x\in(-\infty;-1]\cup\{2\}.\]

Точка \(2\) включается отдельно, потому что выражение в ней равно нулю.

Алгоритм метода интервалов

1. Перенести все выражения в одну часть.
2. Привести выражение к произведению или одной дроби.
3. Разложить числитель и знаменатель на множители.
4. Найти нули каждого множителя.
5. Отметить критические точки на числовой прямой.
6. Определить знак выражения на каждом промежутке.
7. Выбрать промежутки нужного знака.
8. Правильно включить или исключить граничные точки.

Главное

Метод интервалов применяется после приведения неравенства к виду \(F(x)\gtrless0\). Критическими точками являются нули числителя и знаменателя. Между соседними критическими точками знак выражения не меняется. Нули числителя включаются только при нестрогом неравенстве. Нули знаменателя исключаются всегда. При нечётной кратности корня знак меняется, а при чётной — сохраняется.