Логарифмы: определение, свойства и преобразования

Логарифмы используют, когда неизвестная величина находится в показателе степени. В ЕГЭ они встречаются в вычислениях, преобразовании выражений, уравнениях и неравенствах. Главное — помнить определение логарифма, его ОДЗ и основные свойства.

Определение логарифма

\(\textbf{Логарифм}\) числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\).

Записывают так:

\[\log_a b=c.\]

Это означает:

\[a^c=b.\]

Например,

\[\log_2 8=3,\]

потому что

\[2^3=8.\]

У логарифма есть условия существования:

\[a>0, \quad a\ne 1, \quad b>0.\]

Здесь \(a\) — основание логарифма, \(b\) — аргумент логарифма.

Например, выражение

\[\log_3(x-5)\]

имеет смысл при

\[x-5>0,\]

то есть при

\[x>5.\]

Простые значения логарифмов

Некоторые значения удобно находить прямо по определению.

\(\log_a 1=0,\)потому что \(a^0=1.\)

\(\log_a a=1,\)потому что \(a^1=a.\)

\(\log_a a^m=m.\)

Например,

\[\log_5 25=2,\]

так как

\[25=5^2.\]

Также верно:

\[a^{\log_a b}=b.\]

Например,

\[3^{\log_3 7}=7.\]

Основные свойства логарифмов

Для \(a>0\), \(a\ne 1\), \(x>0\), \(y>0\) выполняются свойства:

\[\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y.\]\[\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y.\]\[\log_a x^m=m\log_a x.\]

Например,

\[\log_2 8+\log_2 4=\log_2 32=5.\]\[\log_3 27-\log_3 9=\log_3 3=1.\]

Важно: логарифм суммы не раскладывается:

\[\log_a(x+y)\ne \log_a x+\log_a y.\]

Переход к новому основанию

Иногда логарифм удобно переписать через другое основание:

\[\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}.\]

Чаще всего используют основание \(10\) или \(e\), но в школьных преобразованиях основание выбирают так, чтобы вычисления стали проще.

Например,

\[\log_4 8=\frac{\log_2 8}{\log_2 4}=\frac{3}{2}.\]

Полезное следствие:

\[\log_a b=\frac{1}{\log_b a}.\]

Например,

\[\log_2 8=\frac{1}{\log_8 2}=3.\]

Преобразование логарифмических выражений

Свойства логарифмов можно использовать в обе стороны: раскрывать логарифм произведения или, наоборот, собирать сумму логарифмов в один логарифм.

Например,

\[\log_5 25x=\log_5 25+\log_5 x=2+\log_5 x.\]

Обратное преобразование:

\[\log_3 x+\log_3 9=\log_3(9x).\]

Если перед логарифмом стоит коэффициент, его можно внести в степень аргумента:

\[2\log_7 x=\log_7 x^2.\]

Например,

\[3\log_2 x-\log_2 5 = \log_2 x^3-\log_2 5 = \log_2\frac{x^3}{5}.\]

При таких преобразованиях нужно помнить про ОДЗ: все аргументы логарифмов должны быть положительными, а основания — положительными и не равными \(1\).

Главное

Логарифм \(\log_a b\) показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\). Для логарифма обязательно выполняются условия \(a>0\), \(a\ne 1\), \(b>0\). Логарифм произведения превращается в сумму, логарифм частного — в разность, а степень аргумента можно вынести перед логарифмом. Логарифм суммы по частям не раскладывается. При преобразовании логарифмических выражений всегда нужно следить за допустимыми значениями.