Логарифмические уравнения и неравенства

Логарифмическими называют уравнения и неравенства, в которых переменная находится под знаком логарифма. При их решении нужно учитывать свойства логарифмов и обязательно следить за тем, чтобы каждое выражение под логарифмом было положительным.

Основная идея

Логарифмом числа \(b\) по основанию \(a\) называют показатель степени, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\):

\[\log_a b=c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c=b.\]

Логарифм существует только при условиях

\[a>0, \qquad a\ne1, \qquad b>0.\]

Например:

\[\log_2 8=3,\]

поскольку

\[2^3=8.\]

Если логарифмы имеют одинаковые основания, их аргументы можно приравнять:

\[\log_a f(x)=\log_a g(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)=g(x),\\ f(x)>0,\\ g(x)>0. \end{cases}\]

В логарифмических неравенствах направление знака зависит от основания:

— если \(a>1\), знак сохраняется;
— если \(0<a<1\), знак меняется на противоположный.

Область допустимых значений

Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным:

\[f(x)>0.\]

Например, для выражения

\[\log_3(x-2)\]

ОДЗ имеет вид

\[x-2>0,\]\[x>2.\]

Значение \(x=2\) не допускается, поскольку логарифм нуля не существует.

Простейшие логарифмические уравнения

Уравнение вида

\[\log_a f(x)=c\]

можно переписать в показательной форме:

\[f(x)=a^c.\]

Решим уравнение

\[\log_2(x-1)=3.\]

По определению логарифма

\[x-1=2^3,\]\[x-1=8,\]\[x=9.\]

Проверим ОДЗ:

\[x-1>0.\]

Число \(9\) подходит, поэтому является корнем.

Равенство логарифмов

Если основания одинаковые, можно приравнять аргументы.

Например:

\[\log_5(x+3)=\log_5(2x-1).\]

Сначала найдём ОДЗ:

\[x+3>0, \qquad 2x-1>0.\]

Отсюда

\[x>-3, \qquad x>\frac12,\]

значит,

\[x>\frac12.\]

Теперь приравняем аргументы:

\[x+3=2x-1,\]\[x=4.\]

Число \(4\) входит в ОДЗ.

Свойства логарифмов

При преобразованиях используют формулы

\[\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y,\]\[\log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y,\]\[\log_a x^n=n\log_a x.\]

В этих формулах все логарифмы должны существовать.

Например:

\[\log_2 x+\log_2(x-2)=3.\]

По ОДЗ

\[x>0, \qquad x-2>0,\]

поэтому

\[x>2.\]

Объединим логарифмы:

\[\log_2\bigl(x(x-2)\bigr)=3.\]

Переходим к показательной форме:

\[x(x-2)=8.\]

Получаем

\[x^2-2x-8=0,\]\[(x-4)(x+2)=0.\]

Отсюда \(x=4\) или \(x=-2\). По ОДЗ подходит только

\[x=4.\]

Замена переменной

Если в уравнении несколько раз встречается один и тот же логарифм, удобно выполнить замену.

Например:

\[(\log_2 x)^2-3\log_2 x+2=0.\]

Пусть

\[t=\log_2 x.\]

Тогда

\[t^2-3t+2=0,\]\[(t-1)(t-2)=0.\]

Отсюда

\[t=1\]

или

\[t=2.\]

Возвращаемся к переменной \(x\):

\[\log_2 x=1 \quad \Longrightarrow \quad x=2,\]\[\log_2 x=2 \quad \Longrightarrow \quad x=4.\]

Оба значения входят в ОДЗ \(x>0\).

Логарифмические неравенства при \(a>1\)

Если основание больше единицы, логарифмическая функция возрастает, поэтому знак сохраняется:

\[\log_a f(x)>\log_a g(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} f(x)>g(x),\\ f(x)>0,\\ g(x)>0. \end{cases}\]

Например:

\[\log_3(x+1)>\log_3 4.\]

Поскольку \(3>1\), получаем

\[x+1>4.\]

Отсюда

\[x>3.\]

Это условие уже обеспечивает положительность выражения \(x+1\).

Логарифмические неравенства при \(0<a<1\)

Если основание находится между нулём и единицей, логарифмическая функция убывает, поэтому знак меняется.

Решим неравенство

\[\log_{\frac12}(x+1)\ge-1.\]

Сначала найдём ОДЗ:

\[x+1>0,\]\[x>-1.\]

Поскольку

\[0<\frac12<1,\]

при переходе к аргументам знак меняется:

\[x+1\le\left(\frac12\right)^{-1}.\]

Так как

\[\left(\frac12\right)^{-1}=2,\]

получаем

\[x+1\le2,\]\[x\le1.\]

Пересекаем условия:

\[x>-1, \qquad x\le1.\]

Ответ:

\[x\in(-1;1].\]

Главное

Логарифм \(\log_a b\) существует при \(a>0\), \(a\ne1\) и \(b>0\). Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. При одинаковых основаниях равенство логарифмов сводится к равенству их аргументов. Если основание больше единицы, знак неравенства сохраняется. Если основание находится между нулём и единицей, знак меняется на противоположный. Все найденные решения нужно проверять по ОДЗ.