Линейные и квадратные уравнения

Уравнение — это равенство с неизвестной переменной. \(\textbf{Корнем уравнения}\) называют значение переменной, при котором равенство становится верным. Линейные и квадратные уравнения встречаются как самостоятельно, так и внутри более сложных задач ЕГЭ.

Линейные уравнения

\(\textbf{Линейное уравнение}\) имеет вид

\[ax+b=0,\]

где \(a\) и \(b\) — числа, \(x\) — переменная.

Если \(a \ne 0\), уравнение имеет единственный корень:

\[x=-\frac{b}{a}.\]

Например:

\[3x-12=0,\]\[3x=12,\]\[x=4.\]

Если после преобразований переменная исчезла, возможны два случая.

При верном равенстве, например \(0=0\), решением является любое число:

\[x \in \mathbb{R}.\]

При неверном равенстве, например \(0=5\), уравнение не имеет корней.

Преобразование линейных уравнений

При решении уравнения можно:

— переносить слагаемые из одной части в другую, меняя их знак;
— приводить подобные слагаемые;
— умножать или делить обе части на одно и то же ненулевое число;
— раскрывать скобки.

Например:

\[4(x-2)+3=2x+7.\]

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\[4x-8+3=2x+7,\]\[4x-5=2x+7,\]\[2x=12,\]\[x=6.\]

После нахождения корня его можно проверить подстановкой в исходное уравнение.

Квадратные уравнения

\(\textbf{Квадратное уравнение}\) имеет вид

\[ax^2+bx+c=0,\]

где \(a\), \(b\), \(c\) — числа и \(a \ne 0\).

Число \(a\) называют старшим коэффициентом, \(b\) — коэффициентом при \(x\), а \(c\) — свободным членом.

Для решения квадратного уравнения вычисляют \(\textbf{дискриминант}\):

\[D=b^2-4ac.\]

Количество корней зависит от значения дискриминанта.

Если \(D>0\), уравнение имеет два различных корня:

\[x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}, \qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}.\]

Если \(D=0\), уравнение имеет один корень:

\[x=-\frac{b}{2a}.\]

Если \(D<0\), действительных корней нет.

Например, решим уравнение

\[x^2-5x+6=0.\]

Здесь \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\). Тогда

\[D=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1.\]

Следовательно,

\[x_1=\frac{5-1}{2}=2, \qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3.\]

Ответ: \(2\) и \(3\).

Неполные квадратные уравнения

Если один из коэффициентов \(b\) или \(c\) равен нулю, уравнение часто удобнее решать без дискриминанта.

Уравнение вида \(ax^2+bx=0\) решается вынесением \(x\) за скобку:

\[x(ax+b)=0.\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\[x=0\]

или

\[ax+b=0.\]

Например:

\[2x^2-6x=0,\]\[2x(x-3)=0.\]

Отсюда \(x=0\) или \(x=3\).

Уравнение вида \(ax^2+c=0\) приводится к виду

\[x^2=-\frac{c}{a}.\]

Если правая часть положительна, уравнение имеет два противоположных корня. Если она равна нулю, корень один. Если отрицательна, действительных корней нет.

Теорема Виета

Для приведённого квадратного уравнения

\[x^2+px+q=0\]

сумма и произведение корней равны

\[x_1+x_2=-p, \qquad x_1x_2=q.\]

Например, для уравнения \(x^2-7x+12=0\) нужны два числа, сумма которых равна \(7\), а произведение — \(12\). Это числа \(3\) и \(4\).

Главное

Линейное уравнение имеет вид \(ax+b=0\), а квадратное — \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\ne0\). Линейное уравнение обычно имеет один корень, но может не иметь корней или иметь бесконечно много решений. Квадратное уравнение решается через дискриминант, разложение на множители или теорему Виета. При подстановке коэффициента \(b\) в формулу дискриминанта нужно сохранять его знак. Найденные значения желательно проверять в исходном уравнении.