Критические точки и точки экстремума

Эти понятия тесно связаны, но это не одно и то же. В заданиях ЕГЭ по производной часто нужно найти критические точки функции, а затем определить, какие из них являются точками максимума или минимума.

Критическими точками называют точки области определения функции, в которых либо производная равна нулю, либо производная не существует.

Если \(x_0\) — критическая точка, то выполняется хотя бы одно из условий:

\[f'(x_0)=0\]

или производная \(f'(x_0)\) не существует.

Но сама по себе критическая точка ещё не гарантирует экстремум. Чтобы понять, есть ли максимум или минимум, нужно исследовать знак производной слева и справа от этой точки.

Что такое точка экстремума

Точка экстремума — это точка, в которой функция имеет локальный максимум или локальный минимум.

Если при переходе через точку \(x_0\) знак производной меняется:

— с плюса на минус, то в точке \(x_0\) функция имеет максимум;

— с минуса на плюс, то в точке \(x_0\) функция имеет минимум;

— если знак не меняется, то экстремума нет.

Проще говоря, сначала функция возрастает, потом убывает — значит, получаем вершину максимума. Если сначала убывает, потом возрастает — получаем точку минимума.

Здесь важно не путать:

— точку максимума или минимума — это значение аргумента \(x_0\);

— максимум или минимум функции — это значение \(f(x_0)\).

Как находить точки экстремума

Обычно действуют по такому плану:

— находят производную \(f'(x)\);

— находят критические точки: решают уравнение \(f'(x)=0\) и отмечают точки, где производная не существует;

— наносят эти точки на числовую прямую;

— определяют знак производной на каждом промежутке;

— по смене знака делают вывод о наличии максимума или минимума.

Пример: критические точки являются точками экстремума

Рассмотрим функцию

\[f(x)=x^3-3x.\]

Найдём производную:

\[f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).\]

Критические точки находятся из уравнения

\[3(x-1)(x+1)=0.\]

Получаем

\[x=-1,\qquad x=1.\]

Исследуем знак производной:

— при \(x<-1\) производная положительна;

— при \(-1<x<1\) производная отрицательна;

— при \(x>1\) производная положительна.

Значит, в точке \(x=-1\) знак меняется с плюса на минус, поэтому это точка максимума. В точке \(x=1\) знак меняется с минуса на плюс, поэтому это точка минимума.

Найдём значения функции:

\[f(-1)=2,\qquad f(1)=-2.\]

Следовательно, \(x=-1\) — точка максимума, максимум равен \(2\), а \(x=1\) — точка минимума, минимум равен \(-2\).

Критическая точка без экстремума

Иногда производная равна нулю, но экстремума нет.

Например, для функции

\[f(x)=x^3\]

имеем

\[f'(x)=3x^2.\]

Критическая точка:

\[x=0.\]

Но слева и справа от нуля производная неотрицательна и знак не меняет. Это означает, что функция как возрастала, так и продолжает возрастать. Поэтому точка \(x=0\) — критическая, но не точка экстремума.

Экстремум может быть и там, где производная не существует

Такое тоже бывает.

Например, для функции

\[f(x)=|x|\]

в точке \(x=0\) производная не существует. Но это критическая точка, и в ней функция имеет минимум, потому что слева значения убывают к нулю, а справа возрастают от нуля.

Значит, для поиска экстремумов нужно учитывать не только корни уравнения \(f'(x)=0\), но и точки, где производная не существует.

Главное

— Критические точки — это точки области определения, где \(f'(x)=0\) или производная не существует.

— Не каждая критическая точка является точкой экстремума.

— Чтобы найти экстремум, нужно исследовать знак производной слева и справа от критической точки.

— Смена знака с плюса на минус даёт максимум.

— Смена знака с минуса на плюс даёт минимум.

— Если знак производной не меняется, экстремума нет.

— Экстремум может быть и в точке, где производная не существует.