Кредиты, выплаты и построение математической модели

В задачах на кредиты главное — не запомнить один готовый алгоритм, а точно перевести условия задачи на язык математики.

Схема кредита полностью описывается в условии: когда начисляются проценты, когда производится платёж и каким должен стать долг после него.

Поэтому сначала нужно восстановить последовательность действий, а уже затем составлять уравнение.

Удобные обозначения:

\(S\) — первоначальная сумма кредита;

\(r\) — процентная ставка;

\(q=1+\frac{r}{100}\) — коэффициент увеличения долга;

\(D_k\) — долг после \(k\)-го платежа;

\(A_k\) — \(k\)-й платёж.

Например, при ставке \(20\%\)

\[q=1{,}2.\]

Главное равенство кредитной задачи

Пусть после предыдущего платежа долг равен \(D_{k-1}\).

Сначала на него начисляются проценты:

\[qD_{k-1}.\]

После этого производится платёж \(A_k\).

Оставшийся долг равен

\[D_k=qD_{k-1}-A_k.\]

Отсюда размер платежа:

\[A_k=qD_{k-1}-D_k.\]

Это основное равенство, из которого можно построить практически любую стандартную кредитную модель ЕГЭ.

Важно соблюдать именно тот порядок действий, который указан в условии.

Как читать условие кредита

Условие удобно мысленно разбить на три момента:

— сколько составляет долг перед начислением процентов;

— во сколько раз он увеличивается;

— каким должен стать долг после платежа.

Например, долг после предыдущего платежа составляет 800 000 рублей, а ставка равна \(20\%\).

После начисления процентов:

\[800000\cdot1{,}2=960000.\]

Если после следующего платежа долг должен составить 600 000 рублей, то размер платежа:

\[960000-600000=360000.\]

То есть платёж — это не просто проценты и не просто уменьшение основного долга. Он должен уменьшить увеличенный процентами долг до значения, указанного в условии.

Если платежи одинаковые

Пусть кредит \(S\) погашается тремя одинаковыми платежами \(x\), а каждый период долг увеличивается в \(q\) раз.

После первого платежа:

\[D_1=qS-x.\]

После второго:

\[D_2=qD_1-x.\]

После третьего кредит полностью погашен:

\[D_3=qD_2-x=0.\]

Можно сразу записать:

\[((qS-x)q-x)q-x=0.\]

После раскрытия скобок:

\[Sq^3-x(q^2+q+1)=0.\]

Так получается уравнение для одинаковых платежей.

Если платежей всего два, три или четыре, последовательная запись часто удобнее любой специальной формулы.

Если долг уменьшается на одинаковую величину

Другая распространённая ситуация: после каждого платежа долг должен становиться на одну и ту же сумму меньше.

Пусть первоначальный кредит равен \(S\), а за \(n\) периодов его нужно полностью погасить.

Тогда долг каждый период уменьшается на

\[d=\frac{S}{n}.\]

Размеры долга после платежей:

\[S-d,\quad S-2d,\quad S-3d,\quad\ldots,\quad0.\]

При этом сами платежи обычно не одинаковые.

Первый платёж:

\[A_1=qS-(S-d).\]

Второй:

\[A_2=q(S-d)-(S-2d).\]

И так далее.

Каждый платёж состоит из уменьшения основного долга и процентов, начисленных на долг перед этим платежом.

Быстрый способ найти платёж

Из основного равенства

\[A_k=qD_{k-1}-D_k\]

и записи

\[q=1+\frac{r}{100}\]

получаем

\[A_k=(D_{k-1}-D_k)+\frac{r}{100}D_{k-1}.\]

То есть платёж можно представить как сумму двух частей:

\[\text{платёж}=\text{уменьшение долга}+\text{проценты}.\]

Например, долг должен уменьшиться с 900 000 до 600 000 рублей при ставке \(10\%\).

Уменьшение долга:

\[900000-600000=300000.\]

Проценты:

\[0{,}1\cdot900000=90000.\]

Значит, платёж:

\[300000+90000=390000.\]

Это часто позволяет решить задачу гораздо быстрее.

Если долг некоторое время не меняется

Иногда в условии сказано, что после платежа долг должен остаться таким же, каким был до начисления процентов.

Например,

\[D_k=D_{k-1}.\]

Тогда платёж равен только начисленным процентам:

\[A_k=qD_{k-1}-D_{k-1}.\]

Следовательно,

\[A_k=\frac{r}{100}D_{k-1}.\]

Например, при долге 1 000 000 рублей и ставке \(10\%\) для сохранения долга на уровне 1 000 000 рублей нужно выплатить

\[1000000\cdot0{,}1=100000\text{ рублей}.\]

Здесь важно не считать, что отсутствие уменьшения долга означает отсутствие платежа.

Общая сумма платежей

Если кредит полностью погашен, общую сумму выплат можно представить как

\[\text{сумма выплат}=\text{первоначальный долг}+\text{все начисленные проценты}.\]

Если перед начислением процентов долги последовательно равны

\[D_0,\ D_1,\ D_2,\ldots,D_{n-1},\]

а ставка каждого периода равна \(r\%\), то

\[A_1+A_2+\ldots+A_n=S+\frac{r}{100}(D_0+D_1+\ldots+D_{n-1}).\]

Здесь \(D_0=S\).

Эта формула особенно удобна, когда остатки долга образуют арифметическую последовательность.

Например, если долг равномерно уменьшается:

\[S,\quad\frac{n-1}{n}S,\quad\frac{n-2}{n}S,\quad\ldots,\quad\frac1nS,\]

то вместо вычисления каждого платежа отдельно можно найти сумму этих долгов как сумму арифметической прогрессии.

Если схема меняется в середине кредита

В условии могут быть разные правила для разных периодов.

Например:

— первые несколько лет долг уменьшается на одну и ту же величину;

— затем долг уменьшается на другую величину;

— некоторые платежи равны;

— несколько лет долг после платежа остаётся постоянным.

В таком случае не нужно пытаться применить одну формулу ко всему кредиту.

Кредит разбивается на этапы, и для каждого этапа отдельно записывается изменение долга.

Например, если первые \(m\) лет долг уменьшается каждый год на \(a\), то после этого этапа

\[D_m=S-ma.\]

Дальнейшие вычисления начинаются уже с величины \(D_m\).

Если дана сумма платежей только за часть срока

Иногда требуется найти не общую сумму выплат, а сумму платежей за определённый год или несколько месяцев.

Тогда нужно учитывать только платежи, относящиеся к указанному промежутку.

Например, если требуется сумма платежей

\[A_5+A_6+\ldots+A_{16},\]

не нужно автоматически находить выплаты за весь срок кредита.

Сначала следует определить, какие именно платежи соответствуют датам из условия.

Решение с помощью таблицы

Для длинных задач можно записывать состояние кредита по периодам.

В каждой строке полезно отмечать:

— долг перед начислением процентов;

— долг после начисления процентов;

— размер платежа;

— долг после платежа.

Основная связь остаётся той же:

\[D_k=qD_{k-1}-A_k.\]

Таблица не является отдельным способом решения. Она только помогает удобно записать математическую модель и не потерять последовательность действий.

Если периодов мало, обычно проще сразу записывать выражения и уравнения без таблицы.

На что особенно смотреть в вычислениях

Все величины должны быть записаны в одинаковых единицах.

Если долг записан в миллионах рублей, то и платежи в вычислениях должны быть записаны в миллионах рублей.

Например,

\[4830\text{ тыс. рублей}=4{,}83\text{ млн рублей}.\]

Нельзя в одном уравнении использовать долг в миллионах, а платёж — числом 4830 без перевода единиц.

Также нужно различать процент и коэффициент увеличения.

При \(20\%\)

\[\frac{r}{100}=0{,}2,\]

но весь долг после начисления процентов равен

\[1{,}2D,\]

а не \(0{,}2D\).

Как построить модель

Удобно использовать следующий порядок.

— Определить первоначальный долг.

— Отметить контрольные даты из условия.

— Перевести процент в коэффициент \(q=1+\frac{r}{100}\).

— Записать, каким становится долг после начисления процентов.

— Учесть платёж.

— Записать долг после платежа.

— Повторить действия для следующих периодов.

— Использовать дополнительные условия: равенство платежей, равномерное уменьшение долга, известную сумму выплат или полное погашение кредита.

— Проверить единицы измерения и смысл полученного ответа.

Не нужно заранее решать, что перед нами «задача определённого типа». Сначала нужно прочитать, как именно меняется долг в конкретном условии.

Главное

— Все необходимые правила изменения кредита задаются непосредственно условием задачи.

— Основное равенство: \(D_k=qD_{k-1}-A_k\).

— Платёж можно найти по формуле \(A_k=qD_{k-1}-D_k\).

— Сначала начисляются проценты и только затем учитывается платёж, если именно такой порядок указан в условии.

— Равные платежи и равномерное уменьшение долга — это разные условия.

— Если долг после платежа не уменьшается, платёж обычно погашает начисленные проценты.

— Для длинной задачи удобно использовать таблицу, а для короткой — последовательную запись выражений.

— Нельзя смешивать рубли, тысячи и миллионы рублей в одном вычислении.

— Главная задача при решении — не вспомнить шаблон, а построить математическую модель по конкретному условию.