Корни: определение, свойства и преобразования

Корни используют, когда нужно найти число, которое при возведении в степень даёт заданное значение. В ЕГЭ корни встречаются в вычислениях, преобразовании выражений, уравнениях и неравенствах. Главное — помнить условия существования корня и аккуратно применять свойства.

Определение корня

\(\textbf{Арифметический квадратный корень}\) из числа \(a\) — это неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\).

Записывают так:

\[\sqrt{a}.\]

Например,

\[\sqrt{25}=5,\]

потому что \(5\ge 0\) и \(5^2=25\).

Квадратный корень имеет смысл только при

\[a\ge 0.\]

Например, \(\sqrt{x-3}\) определён при

\[x-3\ge 0,\]

то есть при

\[x\ge 3.\]

Корень \(n\)-й степени записывают так:

\[\sqrt[n]{a}.\]

Если \(n\) чётное, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Если \(n\) нечётное, корень существует и из положительных, и из отрицательных чисел.

Например,

\[\sqrt[3]{-8}=-2.\]

Основные свойства корней

Для неотрицательных \(a\) и \(b\) выполняются свойства:

\[\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}.\]\[\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, \quad b>0.\]

Например,

\[\sqrt{36\cdot 4}=\sqrt{36}\sqrt{4}=6\cdot 2=12.\]\[\sqrt{\frac{49}{25}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{25}}=\frac{7}{5}.\]

Важно: корень из суммы не раскладывается:

\[\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}.\]

Например,

\[\sqrt{9+16}=5,\]

но

\[\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7.\]

Связь корня и степени

Корень можно записывать через степень с дробным показателем:

\[\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}.\]

Например,

\[\sqrt[3]{27}=27^{\frac{1}{3}}=3.\]

Более общий вид:

\[a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.\]

Например,

\[16^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16})^3=2^3=8.\]

При чётном \(n\) нужно следить, чтобы выражение под корнем было неотрицательным.

Преобразование выражений с корнями

Из-под корня можно выносить множитель, если подкоренное выражение содержит полный квадрат:

\[\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}.\]

Можно выполнить и обратное действие — внести множитель под корень:

\[3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45}.\]

Подобные корни можно складывать и вычитать:

\[2\sqrt{3}+5\sqrt{3}=7\sqrt{3}.\]

Но разные корни складывать нельзя:

\[\sqrt{2}+\sqrt{3}\]

не упрощается.

При умножении одинаковые корни можно объединять:

\[\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4.\]

Главное

Квадратный корень \(\sqrt{a}\) определён только при \(a\ge 0\). Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Корень из произведения и частного можно раскладывать по свойствам, но корень из суммы так не раскладывается. Корни связаны со степенями с дробным показателем. При преобразованиях нужно выносить полные квадраты, складывать только подобные корни и следить за допустимыми значениями.