Координаты вектора, скалярное произведение и угол между векторами

Координаты позволяют выполнять действия с векторами с помощью обычных чисел. По координатам можно найти длину вектора, вычислить скалярное произведение и определить угол между векторами.

На плоскости вектор записывают в виде:

\[\vec a=(a_1;a_2).\]

Числа \(a_1\) и \(a_2\) называются координатами вектора. Первая координата показывает изменение по горизонтали, а вторая — изменение по вертикали.

Координаты вектора по двум точкам

Пусть даны точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\). Чтобы найти координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\), из координат конца нужно вычесть координаты начала:

\[\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1;y_2-y_1).\]

Здесь важно соблюдать порядок: сначала координаты точки \(B\), затем координаты точки \(A\).

Например, если \(A(1;2)\), \(B(5;-1)\), то:

\[\overrightarrow{AB}=(5-1;-1-2)=(4;-3).\]

При изменении направления координаты меняют знаки:

\[\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.\]

Действия с координатами векторов

Пусть

\[\vec a=(a_1;a_2),\qquad \vec b=(b_1;b_2).\]

При сложении векторов складываются соответствующие координаты:

\[\vec a+\vec b=(a_1+b_1;a_2+b_2).\]

При вычитании соответствующие координаты вычитаются:

\[\vec a-\vec b=(a_1-b_1;a_2-b_2).\]

При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число:

\[k\vec a=(ka_1;ka_2).\]

Например, если \(\vec a=(2;-3)\), \(\vec b=(-1;4)\), то:

\[\vec a+\vec b=(1;1),\qquad \vec a-\vec b=(3;-7).\]

Также:

\[-2\vec a=(-4;6).\]

Длина вектора по координатам

Если \(\vec a=(a_1;a_2)\), то его длина вычисляется по формуле:

\[|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\]

Например, для вектора \(\vec a=(3;4)\):

\[|\vec a|=\sqrt{3^2+4^2}=5.\]

В пространстве вектор имеет три координаты:

\[\vec a=(a_1;a_2;a_3).\]

Его длина равна:

\[|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.\]

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число. Для векторов

\[\vec a=(a_1;a_2),\qquad \vec b=(b_1;b_2)\]

оно вычисляется по формуле:

\[\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2.\]

Нужно перемножить соответствующие координаты, а затем сложить результаты.

Например, если \(\vec a=(2;-1)\), \(\vec b=(3;4)\), то:

\[\vec a\cdot\vec b=2\cdot3+(-1)\cdot4=2.\]

В пространстве к произведению добавляется третья пара координат:

\[\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.\]

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины:

\[\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2.\]

Угол между векторами

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол от \(0^\circ\) до \(180^\circ\), который получается, если отложить эти векторы из одной точки.

Скалярное произведение связано с углом \(\alpha\) между векторами формулой:

\[\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cos\alpha.\]

Отсюда:

\[\cos\alpha=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}.\]

Для векторов на плоскости формула принимает вид:

\[\cos\alpha=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2}}.\]

Эту формулу можно использовать только для ненулевых векторов. Угол с нулевым вектором не определяется.

Например, пусть \(\vec a=(1;0)\), \(\vec b=(1;1)\). Тогда:

\[\vec a\cdot\vec b=1,\qquad |\vec a|=1,\qquad |\vec b|=\sqrt2.\]

Следовательно,

\[\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt2},\qquad \alpha=45^\circ.\]

Знак скалярного произведения

По знаку скалярного произведения можно определить вид угла между ненулевыми векторами:

— если \(\vec a\cdot\vec b>0\), угол острый;

— если \(\vec a\cdot\vec b=0\), угол прямой;

— если \(\vec a\cdot\vec b<0\), угол тупой.

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, эти векторы перпендикулярны:

\[\vec a\perp\vec b\quad\Longleftrightarrow\quad\vec a\cdot\vec b=0.\]

Например, векторы \(\vec a=(2;1)\) и \(\vec b=(1;-2)\) перпендикулярны, поскольку:

\[\vec a\cdot\vec b=2\cdot1+1\cdot(-2)=0.\]

Главное

— Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) находятся вычитанием координат начала из координат конца.

— Действия с векторами выполняются отдельно с соответствующими координатами.

— Длина вектора \((a_1;a_2)\) равна \(\sqrt{a_1^2+a_2^2}\).

— Скалярное произведение двух векторов является числом.

— Угол между ненулевыми векторами находится через косинус.

— Нулевое скалярное произведение ненулевых векторов означает, что они перпендикулярны.

— Знак скалярного произведения показывает, является угол острым, прямым или тупым.