Координатный метод в стереометрии

Координатный метод в стереометрии работает так же, как на плоскости: пространственную фигуру помещают в систему координат и переводят её геометрические свойства на язык чисел.

Главное отличие состоит в том, что в пространстве используются три координатные оси: \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\). Поэтому положение точки задаётся уже тремя координатами.

Система координат в пространстве

В пространстве используют прямоугольную систему координат \(Oxyz\). Три координатные оси попарно перпендикулярны и пересекаются в точке \(O\) — начале координат.

Точка пространства записывается в виде

\[A(x;y;z).\]

Здесь \(x\), \(y\) и \(z\) показывают положение точки относительно трёх координатных осей.

Если точка находится в начале координат, то

\[O(0;0;0).\]

Если точка лежит на оси \(Ox\), две её координаты равны нулю:

\[(x;0;0).\]

Аналогично для осей \(Oy\) и \(Oz\):

\[(0;y;0),\qquad (0;0;z).\]

Координатные плоскости

Каждая пара координатных осей образует координатную плоскость.

Плоскость \(Oxy\) задаётся условием

\[z=0.\]

Поэтому любая точка этой плоскости имеет вид \((x;y;0)\).

Для плоскости \(Oxz\)

\[y=0,\]

а точки имеют вид \((x;0;z)\).

Для плоскости \(Oyz\)

\[x=0,\]

поэтому точки имеют вид \((0;y;z)\).

Это удобно использовать при выборе координат для пространственной фигуры: основание многогранника часто располагают в одной из координатных плоскостей.

Как выбирать систему координат

Как и на плоскости, систему координат нужно выбирать так, чтобы координаты вершин были как можно проще.

Обычно удобно:

— одну из вершин фигуры поместить в начало координат \(O(0;0;0)\);

— три попарно перпендикулярных ребра направить вдоль осей \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\);

— основание фигуры расположить в координатной плоскости, например \(Oxy\);

— использовать симметрию фигуры, если она позволяет упростить координаты.

Особенно удобно применять такой подход к прямоугольному параллелепипеду и кубу.

Пусть из вершины \(A\) прямоугольного параллелепипеда выходят три ребра длиной \(a\), \(b\) и \(c\). Вершину \(A\) можно поместить в начало координат, а эти рёбра направить вдоль трёх осей.

Тогда

\[A(0;0;0),\qquad B(a;0;0),\qquad D(0;b;0),\qquad A_1(0;0;c).\]

Остальные вершины получают координаты с помощью тех же значений \(a\), \(b\) и \(c\):

\[C(a;b;0),\qquad B_1(a;0;c),\qquad D_1(0;b;c),\qquad C_1(a;b;c).\]

Здесь координаты отражают расположение вершин. Например, все точки нижнего основания имеют \(z=0\), а все точки верхнего основания — \(z=c\).

Координаты в кубе

Для куба координаты задаются ещё проще, поскольку все его рёбра имеют одинаковую длину.

Если ребро куба равно \(a\), можно выбрать

\[A(0;0;0),\qquad B(a;0;0),\qquad D(0;a;0),\qquad A_1(0;0;a).\]

Тогда противоположная вершина куба имеет координаты

\[C_1(a;a;a).\]

Такое расположение удобно тем, что геометрические свойства куба сразу отражаются в координатах его вершин.

Как применять метод в задачах

Общий порядок решения практически такой же, как для координатного метода на плоскости.

— Сделать чертёж пространственной фигуры.

— Выбрать начало координат.

— Направить координатные оси вдоль удобных перпендикулярных рёбер или направлений.

— Записать координаты необходимых точек.

— Перевести условие задачи на язык координат.

— Использовать нужные свойства координат и векторов.

— Выполнить вычисления и записать геометрический ответ.

На ЕГЭ координатный метод особенно полезен в задачах, где нужно работать с углами и взаимным расположением элементов пространственной фигуры.

Здесь важно сначала правильно выбрать координаты. Если система координат выбрана неудачно, дальнейшие вычисления могут стать намного сложнее.

Главное

— В пространстве используется система координат \(Oxyz\) с тремя попарно перпендикулярными осями.

— Точка пространства имеет три координаты и записывается как \(A(x;y;z)\).

— Для точки плоскости \(Oxy\) выполняется \(z=0\), для \(Oxz\) — \(y=0\), для \(Oyz\) — \(x=0\).

— Вершину пространственной фигуры удобно помещать в начало координат, а перпендикулярные рёбра направлять вдоль координатных осей.

— Основание многогранника часто удобно располагать в одной из координатных плоскостей.

— Формулы расстояния и другие специальные формулы координатного метода рассматриваются отдельно.