Координатный метод на плоскости

Координатный метод позволяет решать геометрические задачи с помощью чисел и алгебраических действий. Геометрическую фигуру помещают на координатную плоскость, задают координаты её точек, а затем переводят условия задачи на язык координат.

Главная идея метода — выбрать систему координат так, чтобы координаты точек получились как можно проще.

В чём состоит координатный метод

При решении задачи сначала строят обычный геометрический чертёж, а затем выбирают начало координат и направления осей.

Например, если в треугольнике есть прямой угол, его вершину удобно поместить в начало координат, а катеты расположить вдоль координатных осей. Тогда точки можно задать так:

\[A(0;0),\qquad B(a;0),\qquad C(0;b).\]

Как выбирать систему координат

Удачный выбор системы координат часто значительно сокращает решение.

— Вершину фигуры удобно помещать в начало координат \(O(0;0)\).

— Горизонтальный отрезок удобно располагать на оси \(Ox\). Тогда у всех его точек координата \(y\) равна нулю.

— Вертикальный отрезок удобно располагать на оси \(Oy\). Тогда у всех его точек координата \(x\) равна нулю.

— Если фигура симметрична, ось симметрии часто удобно совместить с одной из координатных осей.

— Если длина неизвестна, её можно обозначить буквой и выразить через неё координаты точек.

Например, основание равнобедренного треугольника удобно расположить симметрично относительно оси \(Oy\):

\[A(-a;0),\qquad B(a;0),\qquad C(0;h).\]

В таком расположении длина основания равна \(2a\), а высота лежит на оси \(Oy\).

Как задавать координаты точек

Координаты каждой точки должны соответствовать геометрическим условиям задачи.

Если точка лежит на оси \(Ox\), её координаты имеют вид

\[(x;0).\]

Если точка лежит на оси \(Oy\), её координаты имеют вид

\[(0;y).\]

Если точка находится в начале координат, её координаты равны

\[O(0;0).\]

При наличии параллельных сторон удобно выбирать координаты так, чтобы у соответствующих точек совпадала одна из координат.

Например, прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\) можно расположить следующим образом:

\[A(0;0),\qquad B(a;0),\qquad C(a;b),\qquad D(0;b).\]

У точек \(A\) и \(B\) одинаковая координата \(y=0\), поэтому сторона \(AB\) горизонтальна. У точек \(B\) и \(C\) одинаковая координата \(x=a\), поэтому сторона \(BC\) вертикальна.

Симметрия в координатном методе

Симметрию фигуры удобно сразу отражать в координатах точек.

Например, если две точки расположены симметрично относительно оси \(Oy\), их координаты можно записать в виде

\[A(-a;b),\qquad B(a;b).\]

У этих точек одинаковые координаты \(y\), а координаты \(x\) противоположны.

Если точки симметричны относительно оси \(Ox\), удобно использовать запись

\[A(a;b),\qquad B(a;-b).\]

Такой выбор координат позволяет использовать симметрию фигуры без дополнительных построений и обозначений.

Алгоритм решения

Координатный метод удобно применять по следующей схеме.

— Сделать геометрический чертёж.

— Выбрать начало координат и направления осей.

— Расположить фигуру относительно осей наиболее удобным способом.

— Записать координаты известных точек.

— При необходимости обозначить неизвестные координаты буквами.

— Перевести геометрические условия задачи на язык координат.

— Выполнить необходимые вычисления.

— Записать ответ в терминах исходной геометрической задачи.

Важно: координаты выбираются не случайно. Чем больше точек удаётся расположить на координатных осях или симметрично относительно них, тем проще обычно получается решение.

Короткие примеры

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами \(5\) и \(3\). Прямой угол удобно поместить в начало координат, а катеты расположить на осях.

Тогда можно выбрать точки

\[A(0;0),\qquad B(5;0),\qquad C(0;3).\]

Все заданные длины сразу отражены в координатах.

Другой пример: основание равнобедренного треугольника равно \(6\), а высота, проведённая к основанию, равна \(4\).

Если начало координат поместить в середину основания, получим

\[A(-3;0),\qquad B(3;0),\qquad C(0;4).\]

Такой выбор сразу учитывает симметрию треугольника относительно оси \(Oy\).

Главное

— Координатный метод переводит геометрическую задачу на язык координат и алгебры.

— Систему координат выбирают так, чтобы координаты точек были как можно проще.

— Вершины удобно помещать в начало координат, а некоторые стороны — на оси \(Ox\) и \(Oy\).

— Симметрию фигуры желательно сразу отражать в координатах точек.

— Точка на оси \(Ox\) имеет координаты вида \((x;0)\), а точка на оси \(Oy\) — вида \((0;y)\).

— Формулы расстояния, координат середины отрезка, уравнений прямой и окружности относятся к отдельной теме и здесь подробно не рассматриваются.