Как читать график функции

График показывает, как каждому допустимому значению \(x\) соответствует значение \(y=f(x)\). По нему можно находить значения функции, нули, знаки, область определения и значения, а также промежутки возрастания и убывания.

Значение функции в точке

Если точка \((x_0;y_0)\) принадлежит графику, то

\[f(x_0)=y_0.\]

Чтобы найти \(f(x_0)\), от значения \(x_0\) на оси \(Ox\) проводят вертикаль до графика, а затем определяют соответствующую ординату.

Например, на рисунке 1 график проходит через точку \((3;1)\), поэтому \(f(3)=1.\)

Область определения и область значений

\(\textbf{Область определения}\) — все значения \(x\), для которых на графике существуют точки. Её можно представить как проекцию графика на ось \(Ox\).

\(\textbf{Область значений}\) — все значения \(y\), которые принимает функция. Это проекция графика на ось \(Oy\).

Если крайняя точка графика закрашена, соответствующее значение входит в промежуток. Если точка выколота, значение не входит. Стрелка на конце графика показывает, что он продолжается дальше.

Нули и знаки функции

\(\textbf{Нули функции}\) — значения \(x\), при которых \(f(x)=0.\)

На графике это абсциссы точек пересечения с осью \(Ox\).

Если график расположен выше оси \(Ox\), то \(f(x)>0\). Если ниже — \(f(x)<0\).

На рисунке ниже нули функции:

\[x=-3,\qquad x=0,\qquad x=3.\]

Функция положительна на промежутках

\[[-4;-3)\cup(0;3),\]

и отрицательна на промежутках

\[(-3;0)\cup(3;4].\]

Возрастание и убывание

График читают слева направо.

Если при увеличении \(x\) график поднимается, функция возрастает. Если график опускается, функция убывает.

Для графика на рисунке ниже функция:

— убывает на \([-4;-2]\);
— возрастает на \([-2;2]\);
— убывает на \([2;4]\).

Здесь важно смотреть не на знак функции, а на направление движения графика. Функция может возрастать, даже если весь участок расположен ниже оси \(Ox\).

Максимумы и минимумы

Точка, в которой функция переходит от возрастания к убыванию, является точкой максимума. При переходе от убывания к возрастанию получается точка минимума.

На рисунке ниже:

\(f(-2)=-2\) — наименьшее значение функции, а

\(f(2)=3\) — наибольшее значение функции.

Пересечения с осями

Точки пересечения с осью \(Ox\) имеют вид \((x;0)\) и соответствуют нулям функции.

Точка пересечения с осью \(Oy\) имеет абсциссу \(x=0\). Её ордината равна \(f(0)\).

Например, если график проходит через начало координат, то \(f(0)=0.\)

Главное

— Координата точки графика имеет вид \((x;f(x))\).
— Нули функции — абсциссы пересечений с осью \(Ox\).
— Выше оси \(Ox\) функция положительна, ниже — отрицательна.
— Область определения находят по значениям \(x\), а область значений — по значениям \(y\).
— Возрастание и убывание определяют при движении по графику слева направо.
— В точках максимума и минимума меняется направление движения графика.
— При чтении графика нужно учитывать закрашенные точки, выколотые точки и стрелки на его концах.