140Исследование функции с помощью производной
Исследование функции помогает определить её основные свойства и построить график без вычисления большого количества точек. Производная показывает, где функция возрастает и убывает, а также помогает находить точки максимума и минимума.
Основная связь имеет вид:
— если \(f'(x)>0\), функция возрастает;
— если \(f'(x)<0\), функция убывает;
— если \(f'(x)=0\) или производная не существует, точку нужно проверить на наличие экстремума.
План исследования функции
Обычно функцию исследуют в следующем порядке:
— находят область определения;
— при необходимости находят нули функции и точки пересечения с осями;
— вычисляют производную \(f'(x)\);
— находят критические точки;
— определяют знак производной на каждом промежутке;
— записывают промежутки возрастания и убывания;
— находят точки максимума и минимума;
— по полученным данным строят схематичный график.
Не для каждой задачи нужны все пункты. Например, если требуется найти только промежутки убывания, достаточно исследовать знак производной.
Критические точки и знак производной
Критическими называют точки области определения функции, в которых
\[f'(x)=0\]
или производная не существует.
Критические точки разбивают область определения на промежутки. На каждом из них определяют знак производной.
Если при переходе через критическую точку знак производной меняется:
— с плюса на минус — функция имеет максимум;
— с минуса на плюс — функция имеет минимум;
— знак не меняется — экстремума нет.
Пример исследования функции
Исследуем функцию
\[f(x)=x^3-6x^2+9x.\]
1. Область определения
Функция является многочленом, поэтому определена при всех действительных значениях \(x\):
\[D(f)=(-\infty;+\infty).\]
2. Нули функции
Разложим выражение на множители:
\[f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2.\]
Найдём нули:
\[x(x-3)^2=0.\]
Отсюда
\[x=0,\qquad x=3.\]
Следовательно, график пересекает ось \(Ox\) в точке \((0;0)\). При \(x=3\) функция также равна нулю, но множитель \((x-3)\) входит в квадрате, поэтому график касается оси \(Ox\) и не пересекает её.
3. Производная
Найдём производную функции:
\[f'(x)=3x^2-12x+9.\]
Разложим её на множители:
\[f'(x)=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3).\]
4. Критические точки
Решим уравнение
\[f'(x)=0.\]
Получаем
\[3(x-1)(x-3)=0,\]
откуда
\[x=1,\qquad x=3.\]
Производная существует при всех \(x\), поэтому других критических точек нет.
5. Знаки производной
Критические точки разбивают числовую прямую на промежутки
\[(-\infty;1),\qquad(1;3),\qquad(3;+\infty).\]
При \(x<1\) оба множителя \(x-1\) и \(x-3\) отрицательны, поэтому
\[f'(x)>0.\]
При \(1<x<3\) множители имеют разные знаки, поэтому
\[f'(x)<0.\]
При \(x>3\) оба множителя положительны, поэтому
\[f'(x)>0.\]
6. Промежутки монотонности
Функция возрастает на промежутках
\[(-\infty;1]\quad\text{и}\quad[3;+\infty),\]
а убывает на промежутке
\[[1;3].\]
7. Точки экстремума
В точке \(x=1\) производная меняет знак с плюса на минус. Значит, \(x=1\) — точка максимума.
Найдём значение функции:
\[f(1)=1-6+9=4.\]
Точка максимума графика имеет координаты
\[(1;4).\]
В точке \(x=3\) производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, \(x=3\) — точка минимума.
\[f(3)=27-54+27=0.\]
Точка минимума графика имеет координаты
\[(3;0).\]
8. Построение графика
Теперь известны основные свойства функции:
— график проходит через точки \((0;0)\), \((1;4)\) и \((3;0)\);
— до точки \(x=1\) функция возрастает;
— от \(x=1\) до \(x=3\) функция убывает;
— после точки \(x=3\) функция снова возрастает;
— в точке \((1;4)\) находится локальный максимум;
— в точке \((3;0)\) находится локальный минимум.
Этих данных достаточно, чтобы построить схематичный график функции.
Главное
— Исследование функции начинают с области определения.
— Производная показывает промежутки возрастания и убывания функции.
— Критические точки находятся из условия \(f'(x)=0\), а также среди точек, где производная не существует.
— Для определения экстремума нужно проверить изменение знака производной.
— Смена знака с плюса на минус даёт максимум.
— Смена знака с минуса на плюс даёт минимум.
— Результаты исследования позволяют построить схематичный график функции.