Иррациональные уравнения и неравенства

Иррациональными называют уравнения и неравенства, в которых переменная находится под знаком корня. В заданиях ЕГЭ такие выражения встречаются как отдельно, так и внутри более сложных конструкций. Главная трудность этой темы в том, что нужно одновременно следить за \(\textbf{областью допустимых значений}\) и аккуратно выполнять возведение в квадрат.

Самое главное

Если в задаче есть выражение \(\sqrt{A(x)}\), то обязательно должно выполняться условие

\[A(x)\ge 0.\]

Это и есть первое ограничение на переменную.

При решении иррациональных уравнений часто используют такой переход:

\[\sqrt{A(x)}=B(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} A(x)=B^2(x),\\ B(x)\ge 0. \end{cases}\]

То есть мало просто возвести обе части в квадрат. Нужно ещё учесть, что правая часть тоже должна быть неотрицательной.

Например:

\[\sqrt{x+1}=x-1.\]

Здесь сразу получаем условия

\[x+1\ge0, \qquad x-1\ge0,\]

значит, \(x\ge1\). После этого можно возвести обе части в квадрат.

Для иррациональных неравенств тоже нельзя бездумно возводить в квадрат обе части. Сначала нужно проверить знак обеих частей. Если одна часть может быть отрицательной, удобнее разбить решение на случаи.

Иррациональные уравнения

\(\textbf{Иррациональное уравнение}\) — это уравнение, в котором переменная находится под знаком корня.

Чаще всего встречаются уравнения вида

\[\sqrt{A(x)}=B(x), \qquad \sqrt{A(x)}=\sqrt{B(x)}, \qquad \sqrt{A(x)}+\sqrt{B(x)}=c.\]

Основной приём решения — избавиться от корня. Для этого обычно:

1. выделяют один корень в одной части уравнения;
2. находят ОДЗ;
3. возводят обе части в квадрат;
4. решают полученное уравнение;
5. обязательно проверяют найденные значения.

Проверка нужна потому, что при возведении в квадрат могут появиться \(\textbf{посторонние корни}\).

Рассмотрим уравнение

\[\sqrt{x+1}=x-1.\]

Сначала найдём ограничения:

\[x+1\ge0, \qquad x-1\ge0.\]

Отсюда

\[x\ge1.\]

Теперь возведём обе части в квадрат:

\[x+1=(x-1)^2.\]

Раскроем скобки:

\[x+1=x^2-2x+1,\]\[x^2-3x=0,\]\[x(x-3)=0.\]

Получаем \(x=0\) или \(x=3\). Но \(x=0\) не удовлетворяет условию \(x\ge1\), значит остаётся только

\[x=3.\]

Это и есть ответ.

Если уравнение имеет вид

\[\sqrt{A(x)}=\sqrt{B(x)},\]

то после учёта ОДЗ можно перейти к равенству

\[A(x)=B(x),\]

но только при условиях

\[A(x)\ge0, \qquad B(x)\ge0.\]

Иррациональные неравенства

\(\textbf{Иррациональное неравенство}\) — это неравенство, в котором переменная находится под знаком корня.

Простейшие случаи:

\[\sqrt{A(x)} > B(x), \qquad \sqrt{A(x)} \ge B(x), \qquad \sqrt{A(x)} < B(x), \qquad \sqrt{A(x)} \le B(x).\]

Здесь важно помнить два факта:

— \(\sqrt{A(x)}\ge0\);
— выражение под корнем должно быть неотрицательным.

Поэтому решение часто строят по случаям.

Случай 1. Неравенство вида \(\sqrt{A(x)} > B(x)\)

Если \(B(x)<0\), то неравенство автоматически верно для всех \(x\), где существует корень, потому что неотрицательное число всегда больше отрицательного.

Если \(B(x)\ge0\), то можно перейти к системе

\[\begin{cases} A(x)\ge0,\\ B(x)\ge0,\\ A(x)>B^2(x). \end{cases}\]

Случай 2. Неравенство вида \(\sqrt{A(x)} < B(x)\)

Здесь правая часть обязательно должна быть положительной, иначе неравенство невозможно.

Поэтому обычно записывают систему

\[\begin{cases} A(x) \ge 0, \\ B(x) > 0, \\ A(x) < B^{2}(x).\end{cases}\]

Пример

Решим неравенство

\[\sqrt{x+1}>x-1.\]

Сначала учитываем ОДЗ:

\[x+1\ge0 \quad \Longrightarrow \quad x\ge-1.\]

Теперь разбиваем на случаи.

1. Если

\[x-1<0,\]

то есть \(x<1\), правая часть отрицательна, а левая неотрицательна. Значит, неравенство верно для всех таких \(x\) из ОДЗ:

\[x\in[-1;1).\]

2. Если

\[x-1\ge0,\]

то есть \(x\ge1\), можно возвести обе части в квадрат:

\[x+1>(x-1)^2.\]

Получаем

\[x+1>x^2-2x+1,\]\[x^2-3x<0,\]\[x(x-3)<0.\]

Отсюда

\[x\in(0;3).\]

С учётом условия \(x\ge1\) получаем

\[x\in[1;3).\]

Объединяем оба случая:

\[x\in[-1;1)\cup[1;3)=[-1;3).\]

Ответ:

\[x\in[-1;3).\]

Главное

Иррациональные уравнения и неравенства содержат переменную под знаком корня. В любой такой задаче сначала нужно следить за ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным. При уравнении вида \(\sqrt{A(x)}=B(x)\) нужно учитывать не только равенство \(A(x)=B^2(x)\), но и условие \(B(x)\ge0\). При возведении в квадрат могут появляться посторонние корни, поэтому проверка обязательна. В иррациональных неравенствах часто удобно разбивать решение на случаи по знаку второй части. Это помогает избежать лишних ошибок и правильно получить ответ.