Графики тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс и котангенс

Графики тригонометрических функций помогают понимать периодичность, знаки функций и количество корней тригонометрических уравнений. Для подготовки достаточно помнить их общий вид и основные свойства.

Синус

Функция \(y=\sin x\) определена при всех действительных \(x\) и принимает значения от \(-1\) до \(1\):

\[D(f)=\mathbb{R},\qquad E(f)=[-1;1].\]

Синус — нечётная функция с периодом \(2\pi\):

\[\sin(-x)=-\sin x,\qquad \sin(x+2\pi)=\sin x.\]

Нули функции:

\[x=\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Наибольшее значение \(1\) достигается при \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k\), а наименьшее значение \(-1\) — при \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\).

Косинус

Функция \(y=\cos x\) также определена при всех действительных \(x\) и принимает значения от \(-1\) до \(1\):

\[D(f)=\mathbb{R},\qquad E(f)=[-1;1].\]

Косинус — чётная функция с периодом \(2\pi\):

\[\cos(-x)=\cos x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x.\]

Нули функции:

\[x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.\]

Наибольшее значение \(1\) достигается при \(x=2\pi k\), а наименьшее значение \(-1\) — при \(x=\pi+2\pi k\).

Тангенс

Функция \(y=\tan x\) не определена в точках, где \(\cos x=0\):

\[x=\frac{\pi}{2}+\pi k.\]

Её область значений — все действительные числа. Тангенс является нечётной функцией с периодом \(\pi\):

\[\tg(-x)=-\tg x,\qquad \tg(x+\pi)=\tg x.\]

Нули тангенса:

\[x=\pi k.\]

Прямые \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\) являются вертикальными асимптотами. На каждом промежутке между соседними асимптотами тангенс возрастает.

Котангенс

Функция \(y=\ctg x\) не определена в точках, где \(\sin x=0\):

\[x=\pi k.\]

Котангенс является нечётной функцией с периодом \(\pi\). Его область значений — все действительные числа.

Нули котангенса:

\[x=\frac{\pi}{2}+\pi k.\]

Прямые \(x=\pi k\) являются вертикальными асимптотами. На каждом промежутке между соседними асимптотами котангенс убывает.

На рисунке показаны основные графики и их повторение через период.

Связь между функциями

Косинус получается из синуса сдвигом влево на \(\frac{\pi}{2}\):

\[\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right).\]

Тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус:

\[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \cot x=\frac{\cos x}{\sin x}.\]

Главное

— Синус и косинус принимают значения только из промежутка \([-1;1]\).
— Период синуса и косинуса равен \(2\pi\).
— Период тангенса и котангенса равен \(\pi\).
— Синус, тангенс и котангенс — нечётные функции, косинус — чётная.
— Тангенс и котангенс имеют вертикальные асимптоты.
— Все четыре графика повторяются через свой период.

Примечание: по доступным вариантам ЕГЭ за последние почти десять лет отдельные задания на графики тригонометрических функций практически не встречались. В открытом банке ФИПИ представлены только графики синуса, косинуса и тангенса, а котангенс отдельно не рассматривается. Тем не менее знание основных свойств этих графиков полезно для понимания периодичности, решения тригонометрических уравнений и дальнейшей работы с функциями.