Графики тригонометрических функций

К основным тригонометрическим функциям относятся \(y=\sin x\), \(y=\cos x\), \(y=\tg x\) и \(y=\ctg x\). Их графики периодически повторяются, поэтому обычно достаточно построить один основной участок, а затем продолжить его влево и вправо.

Период функции — это наименьшее положительное число \(T\), при котором

\[f(x+T)=f(x).\]

Для синуса и косинуса основной период равен

\[T=2\pi,\]

а для тангенса и котангенса —

\[T=\pi.\]

График функции \(y=\sin x\)

График синуса называют синусоидой. Для его построения удобно отметить значения функции в основных точках:

\[\sin0=0,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1,\qquad \sin\pi=0,\]

\[\sin\frac{3\pi}{2}=-1,\qquad \sin2\pi=0.\]

Затем точки соединяют плавной линией и повторяют полученный участок через каждые \(2\pi\).

Основные свойства:

— область определения: \(x\in\mathbb R\);

— область значений: \([-1;1]\);

— период: \(2\pi\);

— функция нечётная;

— нули функции:

\[x=\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Наибольшее значение синуса равно \(1\) и достигается при

\[x=\frac{\pi}{2}+2\pi k.\]

Наименьшее значение равно \(-1\) и достигается при

\[x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k.\]

График функции \(y=\cos x\)

График косинуса имеет такую же форму, как синусоида, но начинается в точке \((0;1)\).

Основные значения:

\[\cos0=1,\qquad \cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \cos\pi=-1,\]

\[\cos\frac{3\pi}{2}=0,\qquad \cos2\pi=1.\]

Основные свойства:

— область определения: \(x\in\mathbb R\);

— область значений: \([-1;1]\);

— период: \(2\pi\);

— функция чётная;

— нули функции:

\[x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Наибольшее значение косинуса равно \(1\) и достигается при

\[x=2\pi k.\]

Наименьшее значение равно \(-1\) и достигается при

\[x=\pi+2\pi k.\]

Чем отличаются графики синуса и косинуса

Графики имеют одинаковую форму, но сдвинуты относительно друг друга.

Косинус можно получить из синуса сдвигом влево на \(\frac{\pi}{2}\):

\[\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right).\]

Синус можно получить из косинуса сдвигом вправо на \(\frac{\pi}{2}\):

\[\sin x=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right).\]

При \(x=0\) синус равен \(0\), а косинус равен \(1\). Это помогает быстро различать их графики.

График функции \(y=\tg x\)

Тангенс определяется формулой

\[\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}.\]

Поэтому функция не существует в точках, где \(\cos x=0\):

\[x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Через эти точки проходят вертикальные асимптоты графика.

Основные свойства тангенса:

— область определения:

\[x\ne\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z;\]

— область значений: \(y\in\mathbb R\);

— период: \(\pi\);

— функция нечётная;

— нули:

\[x=\pi k,\qquad k\in\mathbb Z;\]

— на каждом промежутке между соседними асимптотами функция возрастает.

Один основной участок графика строится на промежутке

\[\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).\]

Он проходит через точку \((0;0)\), а затем повторяется через каждый промежуток длины \(\pi\).

График функции \(y=\ctg x\)

Котангенс определяется формулой

\[\ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}.\]

Поэтому функция не существует в точках, где \(\sin x=0\):

\[x=\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

В этих точках проходят вертикальные асимптоты.

Основные свойства котангенса:

— область определения:

\[x\ne\pi k,\qquad k\in\mathbb Z;\]

— область значений: \(y\in\mathbb R\);

— период: \(\pi\);

— функция нечётная;

— нули:

\[x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z;\]

— на каждом промежутке между соседними асимптотами функция убывает.

Один основной участок обычно рассматривают на промежутке

\[(0;\pi).\]

Он пересекает ось \(Ox\) в точке \(\left(\frac{\pi}{2};0\right)\).

Как изменяются графики

Коэффициент перед функцией изменяет график по вертикали.

Для функций

\[y=a\sin x\qquad\text{и}\qquad y=a\cos x\]

наибольшее расстояние от графика до оси \(Ox\) равно \(|a|\). Это число называют амплитудой.

Если \(a<0\), график отражается относительно оси \(Ox\).

Коэффициент перед аргументом изменяет период. Для функций

\[y=\sin bx\qquad\text{и}\qquad y=\cos bx\]

период равен

\[T=\frac{2\pi}{|b|}.\]

Для функций

\[y=\tg bx\qquad\text{и}\qquad y=\ctg bx\]

период равен

\[T=\frac{\pi}{|b|}.\]

Чем больше \(|b|\), тем чаще график повторяется и тем сильнее он сжимается вдоль оси \(Ox\).

Главное

— Графики синуса и косинуса имеют область значений \([-1;1]\) и период \(2\pi\).

— Синус — нечётная функция, а косинус — чётная.

— Тангенс и котангенс имеют область значений \(\mathbb R\) и период \(\pi\).

— График тангенса возрастает между соседними асимптотами.

— График котангенса убывает между соседними асимптотами.

— Тангенс не существует при \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\).

— Котангенс не существует при \(x=\pi k\).