Графики степенной, корневой, показательной и логарифмической функций

Формула функции определяет не только отдельные значения, но и общий вид её графика. Для степенных, корневых (иррациональных), показательных и логарифмических функций важно знать область определения, область значений, направление изменения, характерные точки и асимптоты.

Степенная функция

\(\textbf{Степенная функция}\) имеет вид \(y=x^p,\) где \(p\) — постоянный показатель степени. Область определения и форма графика зависят от значения \(p\).

Если \(p=n\), где \(n\) — натуральное число, выделяют два основных случая.

При чётном \(n\) функция \(y=x^n\):

— является чётной;
— имеет область определения \(D(f)=\mathbb{R}\);
— принимает только неотрицательные значения;
— убывает на \((-\infty;0]\) и возрастает на \([0;+\infty)\);
— симметрична относительно оси \(Oy\).

Простейший пример — парабола \(y=x^2\).

При нечётном \(n\) функция \(y=x^n\):

— является нечётной;
— имеет область определения и область значений \(\mathbb{R}\);
— возрастает на всей числовой прямой;
— симметрична относительно начала координат.

Например, функция \(y=x^3\) проходит через точки \((-1;-1)\), \((0;0)\) и \((1;1)\).

При отрицательном целом показателе \(p=-n\) получаем

\[y=x^{-n}=\frac{1}{x^n},\qquad x\ne0.\]

Такие графики не пересекают ось \(Oy\) и приближаются к координатным осям.

На рисунке 1 показаны характерные графики степенных функций с чётным и нечётным натуральными показателями.

Корневая (иррациональная) функция

\(\textbf{Корневая функция}\) имеет вид

\[y=\sqrt[n]{x},\qquad n\ge2.\]

Если \(n\) чётное, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x\ge0.\)

Поэтому для функции \(y=\sqrt{x}\):

\[D(f)=[0;+\infty),\qquad E(f)=[0;+\infty).\]

Её график начинается в точке \((0;0)\), проходит через \((1;1)\), \((4;2)\) и возрастает на всей области определения.

Если \(n\) нечётное, корень определён при любом действительном \(x\). Например, для функции \(y=\sqrt[3]{x}\):

\[D(f)=\mathbb{R},\qquad E(f)=\mathbb{R}.\]

Она является нечётной и возрастает на всей числовой прямой.

Функции \(y=\sqrt[n]{x}\) и \(y=x^n\) взаимно обратны на тех промежутках, где степенная функция принимает каждое значение только один раз. Поэтому их графики симметричны относительно прямой \(y=x\).

Показательная функция

\(\textbf{Показательная функция}\) имеет вид \(y=a^x,\) где \(a>0,\qquad a\ne1.\)

Для любой показательной функции:

\[D(f)=\mathbb{R},\qquad E(f)=(0;+\infty).\]

Значения функции всегда положительны, поэтому её график не пересекает ось \(Ox\). Все показательные функции проходят через точку

\[(0;1),\]

поскольку \(a^0=1\).

Прямая \(y=0\) является горизонтальной асимптотой графика.

Направление изменения зависит от основания:

— если \(a>1\), функция возрастает;
— если \(0<a<1\), функция убывает.

Например, \(y=2^x\) возрастает, а \(y=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) убывает. Эти графики симметричны относительно оси \(Oy\), поскольку

\[2^{-x}=\left(\frac{1}{2}\right)^x.\]

Логарифмическая функция

\(\textbf{Логарифмическая функция}\) имеет вид \(y=\log_a x,\) где \(a>0,\qquad a\ne1.\)

Логарифм определён только при положительном аргументе:

\[D(f)=(0;+\infty),\qquad E(f)=\mathbb{R}.\]

График всегда проходит через точку

\[(1;0),\]

поскольку \(\log_a 1=0\), а также через точку \((a;1)\).

Прямая \(x=0\), то есть ось \(Oy\), является вертикальной асимптотой графика.

Направление изменения зависит от основания:

— если \(a>1\), функция возрастает;
— если \(0<a<1\), функция убывает.

Например, \(y=\log_2 x\) возрастает, а \(y=\log_{\frac{1}{2}}x\) убывает.

Показательная и логарифмическая функции с одинаковым основанием взаимно обратны. Поэтому графики \(y=a^x\) и \(y=\log_a x\) симметричны относительно прямой \(y=x\).

Как различать графики

Степенные и корневые функции обычно проходят через начало координат. Исключение составляют степени с отрицательным показателем, для которых \(x=0\) не входит в область определения.

Показательная функция проходит через \((0;1)\) и целиком расположена выше оси \(Ox\). Логарифмическая функция проходит через \((1;0)\) и расположена только справа от оси \(Oy\).

Здесь важно не путать функции \(y=a^x\) и \(y=x^a\). В показательной функции переменная находится в показателе степени, а в степенной — в основании.

При построении корневой и логарифмической функций сначала проверяют область определения. График нельзя продолжать в те части плоскости, где формула не имеет смысла.

Главное

— Форма графика \(y=x^p\) зависит от показателя степени \(p\).
— Графики \(y=x^n\) при чётном и нечётном \(n\) имеют разную симметрию.
— Для \(y=\sqrt{x}\) выполняется \(x\ge0\), а функция \(y=\sqrt[3]{x}\) определена на всей числовой прямой.
— Показательная функция проходит через \((0;1)\) и принимает только положительные значения.
— Логарифмическая функция проходит через \((1;0)\) и определена только при \(x>0\).
— При основании \(a>1\) показательная и логарифмическая функции возрастают, а при \(0<a<1\) — убывают.
— Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой \(y=x\).