Графический способ решения уравнений и неравенств

Графический способ основан на чтении готового графика или построении графиков функций. Он особенно полезен, когда нужно быстро понять число решений, их примерное значение и промежутки, где выполняется неравенство.

Графический способ часто даёт \(\textbf{приближённый}\) ответ, если координаты точек пересечения нельзя прочитать точно. Поэтому его используют либо для наглядности, либо когда точность по рисунку достаточна.

Идея метода

Чтобы решить уравнение или неравенство графически, обычно строят графики функций и смотрят:

— где график пересекает ось \(Ox\);
— где два графика пересекаются;
— где один график расположен выше или ниже другого;
— где график расположен выше или ниже заданной прямой.

Решение уравнения \(f(x)=0\)

Уравнение \(f(x)=0\) означает, что нужно найти нули функции. Графически это абсциссы точек пересечения графика \(y=f(x)\) с осью \(Ox\).

Если график пересекает ось \(Ox\) в точках с абсциссами \(x_1,x_2,\dots\), то именно эти числа и являются решениями уравнения.

На рисунке 1 уравнение \(f(x)=0\) имеет два решения: \(x=-1,\qquad x=3.\)

Решение уравнения \(f(x)=g(x)\)

Уравнение \(f(x)=g(x)\) решают построением графиков

Решениями являются абсциссы точек пересечения этих графиков.

Если графики пересеклись в двух точках, уравнение имеет два решения. Если не пересеклись, решений нет. Если совпали на некотором промежутке, решений бесконечно много.

На рисунке 2 графики пересекаются при \(x=-2  \text{ и }  x=4.\)

Решение уравнения \(f(x)=a\)

Уравнение \(f(x)=a,\) где \(a\) — число, решают так: строят график функции \(y=f(x)\) и прямую \(y=a.\)

Решениями являются абсциссы точек их пересечения.

На рисунке 3 решается уравнение \(f(x)=3.\)

График пересекает прямую \(y=3\) в двух точках, поэтому решения: \(x=-2,\qquad x=2.\)

Решение неравенства \(f(x)\ge 0\)

Неравенство \(f(x)\ge 0\) означает, что нужно найти все значения \(x\), при которых график расположен на оси \(Ox\) или выше неё.

Если требуется решить неравенство \(f(x)>0\), то берут только те участки, где график строго выше оси \(Ox\). Точки, в которых \(f(x)=0\), в ответ не включают.

На рисунке 4 график расположен на оси \(Ox\) или выше неё при \(x\le -1   \text{ или }   x\ge 3.\)

Значит, \(x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).\)

Решение неравенства \(f(x)>g(x)\)

Неравенство \(f(x)>g(x)\) означает, что график \(y=f(x)\) должен находиться выше графика \(y=g(x)\).

Сначала находят точки пересечения графиков, то есть решают уравнение \(f(x)=g(x).\)

Затем по рисунку определяют промежутки, где один график выше другого.

На рисунке 5 график \(y=f(x)\) расположен выше графика \(y=g(x)\) при \(x<-2   \text{ или }   x>4.\)

Следовательно, \(x\in(-\infty;-2)\cup(4;+\infty).\)

Если бы было неравенство \(f(x)\ge g(x)\), точки \(x=-2\) и \(x=4\) входили бы в ответ.

Что важно учитывать

Графический способ зависит от точности рисунка. Если координаты точки пересечения видны неточно, ответ получается приближённым.

Нужно внимательно различать строгие и нестрогие знаки:

— при \(>\) и \(<\) граничные точки не входят в ответ;
— при \(\ge\) и \(\le\) граничные точки входят.

Кроме того, решение всегда должно лежать в области определения функции.

Главное

— Уравнение \(f(x)=0\) решают по точкам пересечения графика с осью \(Ox\).
— Уравнение \(f(x)=g(x)\) решают по точкам пересечения двух графиков.
— Уравнение \(f(x)=a\) решают по пересечению графика с прямой \(y=a\).
— Неравенство \(f(x)\ge 0\) решают по участкам, где график лежит на оси \(Ox\) или выше неё.
— Неравенство \(f(x)>g(x)\) решают по участкам, где график \(f\) расположен выше графика \(g\).