Функция: определение, область определения и область значений

Функция связывает значения двух переменных. Одну переменную выбирают независимо, а значение второй определяется по заданному правилу. Понятие функции используется при построении графиков, решении уравнений, исследовании производной и во многих заданиях ЕГЭ.

Главное о функции

\(\textbf{Функция}\) — это правило, по которому каждому допустимому значению \(x\) соответствует ровно одно значение \(y\).

Функцию записывают так:

\[y=f(x).\]

Здесь \(x\) — \(\textbf{аргумент}\), или независимая переменная, а \(y\) — значение функции, или зависимая переменная.

Например, для функции

\[f(x)=2x+1\]

при \(x=3\) получаем

\[f(3)=2\cdot3+1=7.\]

Одному значению \(x\) не могут соответствовать два разных значения \(y\). При этом разные значения \(x\) могут давать одинаковое значение функции.

\(\textbf{Область определения}\) \(D(f)\) — все значения \(x\), при которых функция существует.

\(\textbf{Область значений}\) \(E(f)\) — все значения \(y\), которые может принимать функция.

На графике область определения находят по горизонтальной оси \(Ox\), а область значений — по вертикальной оси \(Oy\).

Область определения функции

Если функция задана формулой, область определения состоит из всех значений \(x\), при которых выражение имеет смысл.

Для многочлена ограничений нет. Например:

\[f(x)=x^2-3x+5,\]

поэтому

\[D(f)=\mathbb{R}.\]

Если переменная находится в знаменателе, знаменатель не должен быть равен нулю.

Например:

\[f(x)=\frac{1}{x-4}.\]

Условие существования функции:

\[x-4\ne0,\]

поэтому

\[D(f)=\mathbb{R}\setminus\{4\}.\]

Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[f(x)=\sqrt{x+2}.\]

Получаем

\[x+2\ge0,\]\[D(f)=[-2;+\infty).\]

Для логарифма его аргумент должен быть строго положительным:

\[f(x)=\log_3(x-1).\]

Следовательно,

\[x-1>0,\]\[D(f)=(1;+\infty).\]

Если в формуле несколько ограничений, они должны выполняться одновременно.

Например:

\[f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}.\]

Необходимо потребовать

\[x-1\ge0\]

и

\[x-3\ne0.\]

Поэтому

\[D(f)=[1;3)\cup(3;+\infty).\]

Область определения по графику

По графику область определения — это все значения \(x\), над которыми расположены точки графика.

Можно мысленно спроецировать график на ось \(Ox\). Полученный промежуток или объединение промежутков и будет областью определения.

Если крайняя точка графика закрашена, соответствующее значение входит в область определения. Если точка выколота, значение исключается.

Область значений функции

Область значений показывает, какие значения может принимать \(y=f(x)\).

Например, для функции

\[f(x)=x^2\]

значения функции не могут быть отрицательными:

\[x^2\ge0.\]

Следовательно,

\[E(f)=[0;+\infty).\]

Для линейной функции

\[f(x)=2x-3\]

при \(x\in\mathbb{R}\) значение \(y\) может быть любым действительным числом:

\[E(f)=\mathbb{R}.\]

Для функции

\[f(x)=\frac{1}{x}\]

значение функции никогда не равно нулю:

\[E(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.\]

Область значений по графику

По графику область значений находят проекцией графика на ось \(Oy\).

Например, рассмотрим часть параболы

\[y=(x-1)^2-2, \qquad x\in[-1;3].\]

Наименьшее значение функции достигается в вершине:

\[y_{\min}=-2.\]

На концах указанного промежутка:

\[f(-1)=2, \qquad f(3)=2.\]

Поэтому

\[D(f)=[-1;3], \qquad E(f)=[-2;2].\]

График функции

\(\textbf{График функции}\) \(y=f(x)\) — множество всех точек координатной плоскости с координатами

\[(x;f(x)).\]

Чтобы проверить, является ли линия графиком функции, можно мысленно провести вертикальную прямую.

Если любая вертикальная прямая пересекает линию не более чем в одной точке, перед нами график функции.

Если хотя бы одна вертикальная прямая пересекает линию в двух или более точках, одному значению \(x\) соответствуют несколько значений \(y\), поэтому такая линия не задаёт функцию \(y=f(x)\).

Главное

Функция каждому допустимому значению \(x\) ставит в соответствие ровно одно значение \(y\). Область определения \(D(f)\) состоит из всех допустимых значений аргумента. Область значений \(E(f)\) состоит из всех возможных значений функции. По графику \(D(f)\) находят проекцией на ось \(Ox\), а \(E(f)\) — проекцией на ось \(Oy\). При работе с формулой необходимо учитывать знаменатели, корни, логарифмы и другие ограничения.