98Формулы суммы, разности и произведения тригонометрических функций
Эти формулы позволяют преобразовывать сумму или разность синусов и косинусов в произведение, а произведение тригонометрических функций — в сумму или разность.
Такие преобразования помогают упрощать выражения и приводить их к более удобному виду.
Например, сумма синусов преобразуется по формуле
\[\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.\]
А произведение синусов — по формуле
\[\sin\alpha\sin\beta=\frac12\left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right).\]
Преобразование суммы и разности в произведение
В формулах используются полусумма и полуразность аргументов:
\[\frac{\alpha+\beta}{2}\qquad\text{и}\qquad\frac{\alpha-\beta}{2}.\]
Для суммы синусов:
\[\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.\]
Для разности синусов:
\[\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.\]
Для суммы косинусов:
\[\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.\]
Для разности косинусов:
\[\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.\]
Все четыре формулы собраны в таблице.
Как запомнить формулы суммы и разности
В результате всегда появляются два угла:
— полусумма \(\frac{\alpha+\beta}{2}\);
— полуразность \(\frac{\alpha-\beta}{2}\).
Для синусов функции в произведении разные:
\[\sin\cdot\cos\qquad\text{или}\qquad\cos\cdot\sin.\]
Для косинусов функции одинаковые:
\[\cos\cdot\cos\qquad\text{или}\qquad\sin\cdot\sin.\]
Отдельно нужно запомнить формулу разности косинусов: перед произведением стоит знак «минус».
Пример преобразования суммы в произведение
Преобразуем выражение
\[\sin5x+\sin3x.\]
Полусумма аргументов равна
\[\frac{5x+3x}{2}=4x,\]
а полуразность —
\[\frac{5x-3x}{2}=x.\]
Следовательно,
\[\sin5x+\sin3x=2\sin4x\cos x.\]
Рассмотрим разность косинусов:
\[\cos7x-\cos3x.\]
Полусумма аргументов:
\[\frac{7x+3x}{2}=5x.\]
Полуразность:
\[\frac{7x-3x}{2}=2x.\]
Используем формулу разности косинусов:
\[\cos7x-\cos3x=-2\sin5x\sin2x.\]
Преобразование произведения в сумму
Произведение синусов преобразуется в разность косинусов:
\[\sin\alpha\sin\beta=\frac12\left(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right).\]
Произведение косинусов преобразуется в сумму косинусов:
\[\cos\alpha\cos\beta=\frac12\left(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right).\]
Произведение синуса и косинуса преобразуется в сумму синусов:
\[\sin\alpha\cos\beta=\frac12\left(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right).\]
Если первым множителем стоит косинус, а вторым синус, получается
\[\cos\alpha\sin\beta=\frac12\left(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right).\]
Как не перепутать аргументы
При преобразовании произведения используются два выражения:
\[\alpha-\beta\qquad\text{и}\qquad\alpha+\beta.\]
В формулах с произведением синусов или косинусов сначала обычно записывают косинус разности, а затем косинус суммы.
При произведении синуса и косинуса порядок аргументов имеет значение. Например,
\[\sin\alpha\cos\beta=\frac12\left(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right),\]
но
\[\cos\alpha\sin\beta=\frac12\left(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right).\]
Пример преобразования произведения в сумму
Преобразуем выражение
\[\sin5x\sin2x.\]
Используем формулу произведения синусов:
\[\sin5x\sin2x=\frac12\left(\cos(5x-2x)-\cos(5x+2x)\right).\]
Получаем
\[\sin5x\sin2x=\frac12\left(\cos3x-\cos7x\right).\]
Теперь преобразуем произведение
\[\cos4x\cos x.\]
По формуле произведения косинусов:
\[\cos4x\cos x=\frac12\left(\cos(4x-x)+\cos(4x+x)\right).\]
Следовательно,
\[\cos4x\cos x=\frac12\left(\cos3x+\cos5x\right).\]
Главное
— В формулах суммы и разности используются полусумма и полуразность аргументов.
— \(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\).
— \(\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\).
— Произведение синусов преобразуется в разность косинусов.
— Произведение косинусов преобразуется в сумму косинусов.
— Произведение синуса и косинуса преобразуется в сумму или разность синусов.
— При преобразовании важно сохранять порядок аргументов.