Формулы сложения и вычитания аргументов

Формулы сложения и вычитания позволяют находить значения тригонометрических функций от суммы или разности двух углов. Они применяются к выражениям вида \(\sin(\alpha+\beta)\), \(\cos(\alpha-\beta)\), \(\tg(\alpha+\beta)\) и \(\ctg(\alpha-\beta)\).

Для синуса действует правило

\[\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta.\]

Знак между слагаемыми сохраняется: для суммы ставится плюс, для разности — минус.

Для косинуса действует правило

\[\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta.\]

Здесь знак меняется на противоположный: в формуле косинуса суммы появляется минус, а в формуле косинуса разности — плюс.

Основные формулы

Все формулы сложения и вычитания собраны в таблице.

При работе с синусом и косинусом удобно помнить:

— синус сохраняет знак между углами;

— косинус меняет знак на противоположный.

Например,

\[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta,\]

а

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.\]

Формулы для тангенса

Для тангенса суммы используется формула

\[\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}.\]

Для тангенса разности:

\[\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}.\]

В числителе знак сохраняется, а в знаменателе меняется на противоположный.

Формулы можно использовать только при допустимых значениях углов. В частности, тангенсы \(\alpha\) и \(\beta\) должны существовать, а знаменатель полученной дроби не должен быть равен нулю.

Формулы для котангенса

Котангенс суммы вычисляется по формуле

\[\ctg(\alpha+\beta)=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta-1}{\ctg\alpha+\ctg\beta}.\]

Котангенс разности:

\[\ctg(\alpha-\beta)=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta+1}{\ctg\beta-\ctg\alpha}.\]

Здесь особенно важно не пытаться восстанавливать формулы только по аналогии с тангенсом: порядок выражений в знаменателе формулы котангенса разности имеет значение.

Как раскрывать синус и косинус

Рассмотрим выражение

\[\sin(\alpha+\beta).\]

Сначала записывается синус первого угла и косинус второго, затем косинус первого угла и синус второго:

\[\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.\]

Для косинуса суммы сначала перемножаются косинусы, затем синусы:

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.\]

Порядок углов лучше сохранять таким же, как в исходном выражении. Это уменьшает вероятность перепутать множители и знаки.

Вычисление значения угла

Найдём

\[\sin75^\circ.\]

Представим угол \(75^\circ\) в виде суммы известных углов:

\[75^\circ=45^\circ+30^\circ.\]

Применяем формулу синуса суммы:

\[\sin75^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ.\]

Подставляем табличные значения:

\[\sin75^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12.\]

Получаем

\[\boxed{\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}.\]

Раскрытие выражения с переменной

Раскроем выражение

\[\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right).\]

Используем формулу косинуса разности:

\[\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{3}+\sin x\sin\frac{\pi}{3}.\]

Подставляем известные значения:

\[\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cos x+\frac{\sqrt3}{2}\sin x.\]

Знак между слагаемыми получился положительным, потому что в формуле косинуса разности знак меняется с минуса на плюс.

Главное

— \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\).

— В формуле синуса знак сохраняется.

— \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\).

— В формуле косинуса знак меняется на противоположный.

— В формуле тангенса знак в числителе сохраняется, а в знаменателе меняется.

— При использовании формул для тангенса и котангенса нужно учитывать допустимые значения выражений.

— Угол удобно представлять в виде суммы или разности углов с известными значениями тригонометрических функций.