Формулы приведения

Формулы приведения помогают преобразовывать выражения вида \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\right)\), \(\cos(\pi-\alpha)\), \(\tg\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\), \(\ctg(2\pi-\alpha)\) к функциям угла \(\alpha\).

Их основная задача — убрать из аргумента числа \(\frac{\pi}{2}\), \(\pi\), \(\frac{3\pi}{2}\), \(2\pi\) и свести всё к углу \(\alpha\).

Здесь важно помнить две вещи:

— какой знак будет у результата;

— изменится ли сама функция.

Именно для этого удобно использовать правило лошади.

Правило «лошади»

Формулы приведения можно применять с помощью простого правила «лошади». Оно помогает определить две вещи: знак результата и то, изменится ли название тригонометрической функции.

Алгоритм правила «лошади»

1. Определить четверть.

Нужно мысленно считать \(\alpha\) острым углом, то есть

\[0<\alpha<\frac{\pi}{2},\]

и определить, в какой четверти окажется угол из выражения.

Например, угол \(\pi-\alpha\) находится во второй четверти, а угол \(\frac{3\pi}{2}+\alpha\) — в четвёртой.

2. Определить знак.

Нужно посмотреть на исходную тригонометрическую функцию и определить её знак в найденной четверти.

Например, в выражении \(\cos(\pi-\alpha)\) исходной функцией является косинус. Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому перед результатом будет знак «минус».

3. Определить, изменится ли функция: киваем головой, как «лошадь».

Если в аргументе присутствует \(\frac{\pi}{2}\) или \(\frac{3\pi}{2}\), угол находится на вертикальной оси \(Oy\). Киваем головой вверх-вниз, то есть отвечаем «да»: функция меняется.

\[\sin\leftrightarrow\cos,\qquad \tg\leftrightarrow\ctg.\]

Например,

\[\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha.\]

Если в аргументе присутствует \(\pi\) или \(2\pi\), угол находится на горизонтальной оси \(Ox\). Киваем головой вправо-влево, то есть отвечаем «нет»: функция не меняется.

\[\sin\rightarrow\sin,\qquad \cos\rightarrow\cos,\qquad \tg\rightarrow\tg,\qquad \ctg\rightarrow\ctg.\]

Например,

\[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha.\]

Получается простая подсказка:

— вертикальная ось \(Oy\): киваем вверх-вниз — функция меняется;

— горизонтальная ось \(Ox\): киваем вправо-влево — функция не меняется.

4. Записать результат.

Нужно объединить найденный знак и полученную функцию угла \(\alpha\).

Например, преобразуем выражение

\[\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right).\]

Угол находится в четвёртой четверти. В четвёртой четверти синус отрицателен, поэтому перед результатом ставим знак «минус».

В аргументе присутствует \(\frac{3\pi}{2}\), значит киваем головой вверх-вниз: синус меняется на косинус.

Следовательно,

\[\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha.\]

Важно: знак всегда определяют по исходной функции. Сначала смотрят, какой знак имеет синус, косинус, тангенс или котангенс в нужной четверти, и только после этого меняют или сохраняют название функции.

Основные формулы приведения

Самые важные формулы приведения удобнее держать в одной таблице. Так не приходится читать длинный однотипный список: сразу видно, когда функция меняется, когда не меняется, и какой знак получается в результате.

Из таблицы удобно запомнить главное:

— если угол связан с \(\frac{\pi}{2}\) или \(\frac{3\pi}{2}\), функция меняется;

— если угол связан с \(\pi\) или \(2\pi\), функция не меняется;

— знак определяется по исходной функции в той четверти, где расположен угол.

Этой таблицы обычно достаточно для большинства задач на формулы приведения.

Как применять формулы приведения

Рассмотрим несколько коротких примеров.

Найти

\[\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right).\]

Угол связан с \(\frac{3\pi}{2}\), значит функция меняется: синус переходит в косинус. Угол \(\frac{3\pi}{2}-\alpha\) находится в третьей четверти. В третьей четверти синус отрицателен. Поэтому

\[\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos\alpha.\]

Найти

\[\tg(2\pi-\alpha).\]

Угол связан с \(2\pi\), значит функция не меняется. Угол \(2\pi-\alpha\) находится в четвёртой четверти. В четвёртой четверти тангенс отрицателен. Поэтому

\[\tg(2\pi-\alpha)=-\tg\alpha.\]

Найти

\[\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right).\]

Угол связан с \(\frac{\pi}{2}\), значит функция меняется. Косинус переходит в синус. Угол \(\frac{\pi}{2}-\alpha\) лежит в первой четверти, где косинус положителен. Значит

\[\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha.\]

Что важно не путать

Нельзя определять знак по новой функции после замены. Знак берут по исходной функции.

Например, в выражении

\[\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)\]

сначала смотрят на знак синуса в четвёртой четверти, а уже потом меняют синус на косинус. В четвёртой четверти синус отрицателен, поэтому

\[\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=-\cos\alpha.\]

Ещё одна частая ошибка — забывать, что при \(\frac{\pi}{2}\) и \(\frac{3\pi}{2}\) функция меняется, а при \(\pi\) и \(2\pi\) не меняется.

Главное

— Формулы приведения сводят тригонометрические функции углов вида \(\frac{\pi}{2}\pm\alpha\), \(\pi\pm\alpha\), \(\frac{3\pi}{2}\pm\alpha\), \(2\pi\pm\alpha\) к функциям угла \(\alpha\).

— Если угол связан с \(\frac{\pi}{2}\) или \(\frac{3\pi}{2}\), функция меняется.

— Если угол связан с \(\pi\) или \(2\pi\), функция не меняется.

— Знак определяют по исходной функции в той четверти, где лежит угол.

— При применении правила лошади сначала находят четверть, потом знак, потом решают, меняется функция или нет.

— Знак и замена функции — это два разных шага, их нельзя смешивать.