Формулы координатного метода: расстояние, середина отрезка, прямая, окружность

Координатный метод позволяет решать геометрические задачи с помощью формул. Если известны координаты точек, можно найти длину отрезка, его середину, составить уравнение прямой и окружности.

Для ЕГЭ важно не просто помнить формулы, а понимать их смысл. Тогда легче применять их в задачах и не путаться в знаках.

Расстояние между двумя точками

Пусть даны точки \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\). Тогда расстояние между ними вычисляется по формуле

\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.\]

Эта формула получается из теоремы Пифагора. Разность \(x_2-x_1\) показывает изменение по оси \(Ox\), а разность \(y_2-y_1\) — изменение по оси \(Oy\). На рисунке это катеты прямоугольного треугольника, а отрезок \(AB\) — его гипотенуза.

Например, если \(A(1;1)\) и \(B(5;4)\), то

\[AB=\sqrt{(5-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{16+9}=5.\]

Середина отрезка

Пусть \(M\) — середина отрезка \(AB\), где \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\). Тогда координаты середины находятся по формуле

\[M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right).\]

Это означает, что координата середины равна среднему арифметическому соответствующих координат концов отрезка.

Например, если \(A(2;1)\) и \(B(8;5)\), то

\[M\left(\frac{2+8}{2};\frac{1+5}{2}\right)=M(5;3).\]

Здесь важно не путать: координаты \(x\) усредняются только с координатами \(x\), а координаты \(y\) — только с координатами \(y\).

Уравнение прямой

Прямую на плоскости можно задать общим уравнением

\[Ax+By+C=0,\]

где числа \(A\) и \(B\) не равны нулю одновременно.

Если координаты точки удовлетворяют этому уравнению, то точка лежит на прямой.

Например, для прямой

\[2x+y-5=0\]

точка \(A(2;1)\) подходит, потому что

\[2\cdot2+1-5=0.\]

Если прямая не вертикальна, её часто записывают в виде

\[y=kx+b.\]

Здесь \(k\) — угловой коэффициент, а \(b\) — ордината точки пересечения прямой с осью \(Oy\). Проще говоря, \(k\) показывает наклон прямой: чем больше \(k\), тем круче поднимается прямая при движении слева направо.

На рисунке видно, что угловой коэффициент связан с отношением приращения по \(y\) к приращению по \(x\):

\[k=\frac{\Delta y}{\Delta x}.\]

Для параллельных прямых с уравнениями вида \(y=kx+b\) угловые коэффициенты равны:

\[k_1=k_2.\]

Для перпендикулярных прямых с ненулевыми угловыми коэффициентами выполняется

\[k_1k_2=-1.\]

Здесь важно не путать общее уравнение прямой \(Ax+By+C=0\) и запись \(y=kx+b\). Вторая форма не подходит для вертикальной прямой, например для прямой \(x=3\).

Уравнение окружности

Если окружность имеет центр \(O(a;b)\) и радиус \(R\), то её уравнение имеет вид

\[(x-a)^2+(y-b)^2=R^2.\]

Смысл этой формулы такой: любая точка \(M(x;y)\) окружности находится на расстоянии \(R\) от центра \(O(a;b)\). На рисунке это показано отрезком \(OM\).

Если центр окружности находится в начале координат, то формула упрощается:

\[x^2+y^2=R^2.\]

Например, уравнение

\[(x-2)^2+(y+1)^2=16\]

задаёт окружность с центром \(O(2;-1)\) и радиусом \(R=4\).

Здесь важно правильно читать знаки. Если записано \((x-a)^2\), то координата центра по \(x\) равна \(a\). Если записано \((y+1)^2\), то это то же самое, что \((y-(-1))^2\), значит координата центра по \(y\) равна \(-1\).

Как применять эти формулы

Если нужно найти длину отрезка между двумя точками, используют формулу расстояния.

Если нужно найти центр или середину отрезка, используют формулу середины.

Если в задаче рассматриваются точки одной прямой, составляют или используют уравнение прямой.

Если все точки находятся на одинаковом расстоянии от одной точки, удобно использовать уравнение окружности.

Чем удачнее выбраны координаты точек, тем проще обычно получаются вычисления.

Главное

— Расстояние между точками \(A(x_1;y_1)\) и \(B(x_2;y_2)\) вычисляется по формуле \(AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\).

— Середина отрезка имеет координаты \(M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)\).

— Прямую можно задать уравнением \(Ax+By+C=0\).

— Если прямая не вертикальна, её можно записать в виде \(y=kx+b\), где \(k\) — угловой коэффициент.

— Окружность с центром \(O(a;b)\) и радиусом \(R\) задаётся уравнением \((x-a)^2+(y-b)^2=R^2\).

— В уравнении окружности знак внутри скобки противоположен координате центра.