137Формулы двойного и половинного угла
Формулы двойного угла позволяют заменить тригонометрическую функцию от \(2\alpha\) выражением через функции угла \(\alpha\). Формулы половинного угла действуют в обратную сторону: выражают функции угла \(\frac{\alpha}{2}\) через \(\cos\alpha\).
Основные формулы двойного угла:
\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\]
\[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha,\]
\[\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}.\]
Формула косинуса двойного угла имеет ещё две полезные формы:
\[\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1,\]
\[\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha.\]
Откуда берутся формулы двойного угла
Формулы двойного угла получаются из формул сложения, если положить \(\beta=\alpha\).
Например,
\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.\]
При \(\beta=\alpha\) получаем
\[\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha,\]
откуда
\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.\]
Аналогично из формулы косинуса суммы:
\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]
получаем
\[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha.\]
Три формы косинуса двойного угла
Основная формула имеет вид
\[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha.\]
Используя тождество
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,\]
можно получить ещё две формы.
Заменим \(\sin^2\alpha\) на \(1-\cos^2\alpha\):
\[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)=2\cos^2\alpha-1.\]
Теперь заменим \(\cos^2\alpha\) на \(1-\sin^2\alpha\):
\[\cos2\alpha=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha=1-2\sin^2\alpha.\]
Выбор формулы зависит от выражения:
— если встречается только \(\cos^2\alpha\), удобно использовать \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\);
— если встречается только \(\sin^2\alpha\), удобно использовать \(\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\);
— если присутствуют оба квадрата, подходит \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\).
Формулы половинного угла
Из формул косинуса двойного угла можно выразить квадраты синуса и косинуса половинного угла.
Заменим в формуле
\[\cos2x=1-2\sin^2x\]
угол \(x\) на \(\frac{\alpha}{2}\). Тогда \(2x=\alpha\), поэтому
\[\cos\alpha=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}.\]
Отсюда
\[\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}.\]
Аналогично из равенства
\[\cos2x=2\cos^2x-1\]
получаем
\[\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}.\]
Все основные формулы собраны в таблице.
Извлечение квадратного корня
Из формулы
\[\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\]
следует
\[\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}.\]
Аналогично,
\[\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}.\]
Знак нельзя выбирать автоматически. Он определяется четвертью, в которой находится угол \(\frac{\alpha}{2}\).
Например, если
\[\pi<\alpha<2\pi,\]
то
\[\frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\pi.\]
Угол \(\frac{\alpha}{2}\) находится во второй четверти, поэтому синус положителен, а косинус отрицателен.
Формулы тангенса половинного угла
Тангенс половинного угла можно выразить несколькими способами:
\[\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},\]
\[\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}.\]
Также из формул квадратов половинного угла получается
\[\tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}.\]
При использовании этих равенств нужно учитывать, что знаменатели не должны быть равны нулю.
Пример с двойным углом
Упростим выражение
\[2\sin3x\cos3x.\]
Используем формулу
\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.\]
Здесь \(\alpha=3x\), поэтому
\[2\sin3x\cos3x=\sin6x.\]
Пример с половинным углом
Найдём значение
\[\sin\frac{\pi}{8}.\]
Используем формулу половинного угла:
\[\sin\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}}.\]
Угол \(\frac{\pi}{8}\) находится в первой четверти, поэтому выбирается знак «плюс».
Так как
\[\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\]
получаем
\[\sin\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.\]
Главное
— \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\).
— \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\).
— Также \(\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\).
— \(\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}\).
— \(\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\).
— \(\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}\).
— При извлечении корня знак определяется четвертью угла \(\frac{\alpha}{2}\).