Финансовая математика: дифференцированные и аннуитетные платежи

В задачах на кредиты нужно следить за двумя действиями: начислением процентов и погашением долга. Проценты обычно начисляются на остаток долга, поэтому после каждого платежа сумма, на которую будут начислены следующие проценты, меняется.

Основные обозначения:

\(S\) — первоначальная сумма кредита;

\(r\) — процентная ставка за один период;

\(i=\frac{r}{100}\) — ставка в виде десятичной дроби;

\(q=1+i\) — коэффициент увеличения долга;

\(n\) — количество платежей;

\(A\) — размер платежа.

Например, при ставке \(20\%\)

\[i=0{,}2,\qquad q=1{,}2.\]

Если долг перед начислением процентов равен \(D\), то после начисления процентов он станет равен

\[Dq=D(1+i).\]

Как решать кредит без таблицы

В задачах с небольшим количеством периодов обычно быстрее не строить большую таблицу, а последовательно записывать, что происходит с долгом.

Пусть кредит равен 182 000 рублей, каждый год долг увеличивается на \(20\%\), а затем производится один из трёх равных платежей.

Обозначим каждый платёж через \(x\).

После начисления процентов в первый год и первого платежа долг равен

\[182000\cdot1{,}2-x.\]

Через год снова начисляются \(20\%\), после чего производится второй платёж:

\[(182000\cdot1{,}2-x)\cdot1{,}2-x.\]

После третьего начисления процентов и третьего платежа кредит должен быть полностью погашен:

\[((182000\cdot1{,}2-x)\cdot1{,}2-x)\cdot1{,}2-x=0.\]

Раскроем выражение:

\[182000\cdot1{,}2^3-x(1+1{,}2+1{,}2^2)=0.\]

Отсюда

\[x=86400.\]

Всего было три одинаковых платежа, поэтому общая сумма выплат:

\[3\cdot86400=259200\text{ рублей}.\]

Такой способ особенно удобен, когда платежей немного: достаточно последовательно увеличивать остаток долга на проценты и вычитать платёж.

Дифференцированные платежи

При дифференцированной схеме основной долг погашается равными частями.

Если кредит \(S\) погашается за \(n\) платежей, то каждый раз основной долг уменьшается на

\[\frac{S}{n}.\]

Но проценты начисляются на оставшуюся задолженность. Поэтому каждый следующий платёж становится меньше предыдущего.

Например, кредит 120 000 рублей нужно погасить за 3 месяца при ставке \(5\%\) в месяц.

Каждый месяц погашается одинаковая часть основного долга:

\[\frac{120000}{3}=40000.\]

Перед первым платежом долг равен 120 000 рублей, перед вторым — 80 000 рублей, перед третьим — 40 000 рублей.

Проценты за три месяца можно сразу найти арифметически:

\[0{,}05(120000+80000+40000)=12000.\]

Значит, общая сумма выплат:

\[120000+12000=132000\text{ рублей}.\]

Отдельные платежи будут равны:

\[40000+0{,}05\cdot120000=46000,\]

\[40000+0{,}05\cdot80000=44000,\]

\[40000+0{,}05\cdot40000=42000.\]

Платежи уменьшаются:

\[46000,\qquad44000,\qquad42000.\]

Быстрый способ для дифференцированного кредита

Остатки долга перед начислением процентов образуют арифметическую последовательность.

Если кредит \(S\) погашается за \(n\) равных частей основного долга, получаем:

\[S,\quad S-\frac Sn,\quad S-\frac{2S}{n},\quad\ldots,\quad\frac Sn.\]

Их сумму можно найти как сумму арифметической прогрессии:

\[S+\left(S-\frac Sn\right)+\ldots+\frac Sn=\frac{S(n+1)}{2}.\]

Поэтому сумма всех начисленных процентов равна

\[i\cdot\frac{S(n+1)}{2}.\]

А общая сумма выплат:

\[S_{\text{выплат}}=S+i\frac{S(n+1)}{2}.\]

Эта формула работает для стандартной схемы, когда основной долг уменьшается каждый период на одинаковую величину, а проценты начисляются перед каждым платежом на оставшийся долг.

Аннуитетные платежи

При аннуитетной схеме все платежи одинаковые.

То есть каждый период заёмщик выплачивает одну и ту же сумму:

\[A,\quad A,\quad A,\quad\ldots,\quad A.\]

При этом состав платежа меняется. В начале кредита значительную его часть составляют проценты, а затем всё большая часть платежа идёт на погашение основного долга.

Если долг перед очередным периодом равен \(D\), сначала на него начисляются проценты:

\[D(1+i).\]

Затем производится платёж \(A\), поэтому новый остаток:

\[D_{\text{новый}}=D(1+i)-A.\]

Для небольшого количества платежей именно эту запись удобно последовательно применять несколько раз, как в примере с кредитом 182 000 рублей.

Формула аннуитетного платежа

Если известны сумма кредита \(S\), ставка за один период \(i\) и количество одинаковых платежей \(n\), размер аннуитетного платежа можно найти сразу:

\[A=S\cdot\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.\]

Например, взят кредит 21 000 рублей на два периода под \(10\%\) за период.

Получаем:

\[A=21000\cdot\frac{0{,}1\cdot1{,}1^2}{1{,}1^2-1}=12100.\]

Следовательно, оба платежа равны 12 100 рублей.

Общая сумма выплат:

\[2\cdot12100=24200\text{ рублей}.\]

Если платежей всего два или три, часто проще последовательно работать с остатком долга, чем сразу использовать общую формулу аннуитета.

Как различать две схемы

При дифференцированных платежах одинаковой остаётся часть, которая идёт на погашение основного долга:

\[\frac Sn.\]

Поэтому сами платежи постепенно уменьшаются.

При аннуитетных платежах одинаковой остаётся вся сумма платежа:

\[A=\text{const}.\]

При этом внутри каждого платежа соотношение процентов и погашения основного долга меняется.

Проще говоря:

— дифференцированный кредит — одинаково уменьшаем основной долг;

— аннуитетный кредит — каждый раз платим одинаковую общую сумму.

Решение с помощью таблицы

Таблица остаётся удобным способом, если периодов много или нужно проследить состояние долга после каждого платежа.

Обычно для каждого периода записывают:

— долг перед начислением процентов;

— начисленные проценты;

— сумму, которая идёт на погашение основного долга;

— полный платёж;

— остаток долга после платежа.

На примере кредита 120 000 рублей видно, что основной долг каждый раз уменьшается на 40 000 рублей, а проценты становятся меньше вместе с остатком задолженности.

Таблица особенно полезна для проверки решения. Но если требуется только числовой ответ и периодов немного, арифметический способ обычно получается быстрее.

Что учитывать в условии

Ставка всегда относится к определённому периоду.

Если указано \(12\%\) годовых, это ещё не означает автоматически \(1\%\) в месяц: порядок начисления процентов определяется условием задачи.

Также важно соблюдать порядок действий. Если сказано, что сначала долг увеличивается на \(20\%\), а затем производится платёж, нужно выполнять действия именно в таком порядке:

\[\text{долг}\rightarrow\text{начисление процентов}\rightarrow\text{платёж}.\]

Если платежи равные, удобно сразу обозначить их через \(x\).

Если равными частями уменьшается именно основной долг, речь идёт о дифференцированной схеме.

Главное

— После начисления \(r\%\) долг умножается на \(1+\frac r{100}\).

— При небольшом количестве периодов кредит удобно решать последовательно без таблицы: начислить проценты, вычесть платёж и повторить действия.

— При дифференцированной схеме основной долг погашается равными частями, поэтому платежи уменьшаются.

— При аннуитетной схеме все платежи одинаковые.

— Для дифференцированного кредита проценты начисляются на постепенно уменьшающийся остаток долга.

— Аннуитетный платёж можно находить по формуле \(A=S\cdot\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}\).

— Табличный способ полезен для длинных задач и проверки, но при небольшом количестве периодов арифметическое решение обычно короче.