135Чётные, нечётные, возрастающие, убывающие и периодические функции
Оглавление
Свойства функции помогают описать её поведение без вычисления большого количества значений. По формуле или графику можно установить симметрию, направление изменения и повторяемость функции. Эти свойства используются при чтении графиков, сравнении значений и упрощении выражений.
Чётные и нечётные функции
Область определения чётной или нечётной функции должна быть симметрична относительно нуля: вместе с числом \(x\) она должна содержать число \(-x\).
Функция \(f(x)\) называется \(\textbf{чётной}\), если для каждого \(x\) из её области определения выполняется
\[f(-x)=f(x).\]График чётной функции симметричен относительно оси \(Oy\). Например, функции \(y=x^2\), \(y=|x|\) и \(y=\cos x\) чётные.
Функция \(f(x)\) называется \(\textbf{нечётной}\), если для каждого \(x\) из её области определения выполняется
\[f(-x)=-f(x).\]График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Например, функции \(y=x^3\), \(y=\frac{1}{x}\) и \(y=\sin x\) нечётные.
Нулевая функция \(f(x)=0\) одновременно чётная и нечётная. Многие функции не относятся ни к одному из этих видов. Например, \(y=x+1\) не является ни чётной, ни нечётной.
Как определить чётность функции
Для проверки чётности нужно заменить \(x\) на \(-x\), упростить выражение и сравнить результат с \(f(x)\) и \(-f(x)\).
Например, для функции \(f(x)=x^4-3x^2\):
\[f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2=x^4-3x^2=f(x).\]Следовательно, функция чётная.
Для функции \(g(x)=x^3-2x\):
\[g(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x=-g(x).\]Следовательно, функция нечётная.
Если не выполняется ни равенство \(f(-x)=f(x)\), ни равенство \(f(-x)=-f(x)\), функция не является ни чётной, ни нечётной.
На общей области определения выполняются следующие свойства:
— сумма и разность двух чётных функций чётны;
— сумма и разность двух нечётных функций нечётны;
— произведение двух функций одинаковой чётности чётно;
— произведение чётной и нечётной функций нечётно;
— сумма чётной и нечётной функций обычно не является ни чётной, ни нечётной.
Возрастающие и убывающие функции
Возрастание и убывание функции всегда рассматривают на определённом промежутке.
Функция \(f(x)\) называется \(\textbf{возрастающей}\) на промежутке \(I\), если для любых \(x_1,x_2\in I\) из условия \(x_1<x_2\) следует
\[f(x_1)<f(x_2).\]При движении по графику слева направо значения возрастающей функции увеличиваются.
Функция \(f(x)\) называется \(\textbf{убывающей}\) на промежутке \(I\), если для любых \(x_1,x_2\in I\) из условия \(x_1<x_2\) следует
\[f(x_1)>f(x_2).\]При движении по графику слева направо значения убывающей функции уменьшаются.
Одна и та же функция может убывать на одном промежутке и возрастать на другом. Например, функция \(y=x^2\) убывает на \((-\infty;0]\) и возрастает на \([0;+\infty)\).
Здесь важно не путать возрастание функции с её положительностью. Функция может принимать только отрицательные значения, но при этом возрастать.
Неубывание и невозрастание — более широкие понятия. Для неубывающей функции выполняется \(f(x_1)\le f(x_2)\), а для невозрастающей — \(f(x_1)\ge f(x_2)\). В этих случаях равенство значений допускается.
Если известна производная, то при \(f'(x)>0\) функция возрастает, а при \(f'(x)<0\) убывает.
Периодические функции
Функция называется \(\textbf{периодической}\), если существует число \(T\ne0\), при сдвиге на которое значения функции повторяются:
\[f(x+T)=f(x).\]Число \(T\) называется \(\textbf{периодом функции}\). Обычно рассматривают положительные периоды. Если существует наименьший положительный период, его называют \(\textbf{основным периодом}\).
Например,
\[\sin(x+2\pi)=\sin x,\]\[\cos(x+2\pi)=\cos x,\]\[\tan(x+\pi)=\tan x.\]Основной период функций \(y=\sin x\) и \(y=\cos x\) равен \(2\pi\), а функции \(y=\tan x\) — \(\pi\).
Если \(T\) является периодом функции, то числа \(2T\), \(3T\) и другие ненулевые целые кратные \(T\) также являются её периодами.
У постоянной функции периодом является любое ненулевое число, поэтому наименьшего положительного периода у неё нет.
Как применять свойства функций
Чётность позволяет восстановить часть графика. График чётной функции отражают относительно оси \(Oy\), а график нечётной функции — относительно начала координат.
Если функция чётная и \(f(3)=5\), то
\[f(-3)=5.\]Если функция нечётная и \(f(3)=5\), то
\[f(-3)=-5.\]Монотонность позволяет сравнивать значения функции без вычислений. Если функция возрастает и \(2<7\), то
\[f(2)<f(7).\]Если функция убывает, то
\[f(2)>f(7).\]Периодичность позволяет уменьшать аргумент на целое число периодов. Если период функции равен \(4\), то
\[f(9)=f(9-2\cdot4)=f(1).\]Главное
— Для чётной функции выполняется \(f(-x)=f(x)\), а её график симметричен относительно оси \(Oy\).
— Для нечётной функции выполняется \(f(-x)=-f(x)\), а её график симметричен относительно начала координат.
— Область определения чётной или нечётной функции должна быть симметрична относительно нуля.
— Возрастание и убывание функции определяют только на указанном промежутке.
— Возрастающая функция сохраняет порядок аргументов, а убывающая меняет порядок значений на противоположный.
— Для периодической функции выполняется \(f(x+T)=f(x)\).
— Свойства функции нужно проверять по определению, а не только по отдельным точкам графика.