Числа, множества и числовые промежутки

Числа и числовые промежутки — это один из основных языков алгебры. С их помощью записывают ответы к неравенствам, области определения функций, условия задач и множества решений.

Например, запись \(x \in [2; 5)\) означает, что число \(x\) принадлежит промежутку от \(2\) до \(5\), причём \(2\) входит в этот промежуток, а \(5\) не входит.

Числовые множества

В школьной математике чаще всего используются несколько основных числовых множеств.

Натуральные числа — это числа, которые используют при счёте:

\[N = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}.\]

Иногда отдельно рассматривают натуральные числа с нулём: \(N_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\).

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и ноль:

\[Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}.\]

Например, \(-5 \in Z\), \(0 \in Z\), \(12 \in Z\).

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби \(\frac{a}{b}\), где \(a \in Z\), \(b \in Z\), \(b \ne 0\).

Например, числа \(3\), \(-\frac{2}{5}\), \(0{,}75\) являются рациональными, потому что их можно записать в виде обыкновенной дроби.

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби \(\frac{a}{b}\), где \(a\) и \(b\) — целые числа, \(b \ne 0\). Например, \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\).

Действительные числа включают рациональные и иррациональные числа. Их множество обозначается \(R\).

Основные числовые множества связаны так:

\[N \subset Z \subset Q \subset R.\]

Эта запись означает: каждое натуральное число является целым, каждое целое число является рациональным, а каждое рациональное число является действительным.

Множество и элемент множества

Множество — это совокупность объектов, которые рассматриваются вместе. Объекты, входящие в множество, называются элементами множества.

Если элемент \(x\) принадлежит множеству \(A\), пишут \(x \in A\). Если элемент \(x\) не принадлежит множеству \(A\), пишут \(x \notin A\).

Например, если \(A = \{2, 4, 6, 8\}\), то \(4 \in A\), но \(5 \notin A\).

Множество может быть конечным или бесконечным. Например, \(A = \{1, 3, 5\}\) — конечное множество, а \(N = \{1, 2, 3, \ldots\}\) — бесконечное.

Множество, в котором нет ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается \(\varnothing\).

Подмножество

Множество \(A\) называется подмножеством множества \(B\), если каждый элемент множества \(A\) является элементом множества \(B\).

Это записывают так:

\[A \subset B.\]

Например, если \(A = \{1, 2, 3\}\), а \(B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), то \(A \subset B\).

Важно различать записи \(x \in A\) и \(A \subset B\). Первая означает, что \(x\) — элемент множества. Вторая означает, что одно множество целиком содержится в другом.

Например, правильно писать \(2 \in \{1, 2, 3\}\), потому что \(2\) — это элемент. А запись \(\{2\} \subset \{1, 2, 3\}\) тоже верна, потому что множество \(\{2\}\) содержится в множестве \(\{1, 2, 3\}\).

Числовая прямая

Действительные числа можно изображать точками на числовой прямой. Чем правее точка, тем больше число. Например, \(5 > 2\), потому что точка \(5\) расположена правее точки \(2\). Число \(-3\) меньше числа \(1\), потому что точка \(-3\) находится левее точки \(1\).

Числовая прямая помогает понимать неравенства и промежутки. Например, неравенство \(x > 4\) означает, что подходят все числа, расположенные правее \(4\).

Числовые промежутки

Числовой промежуток — это множество чисел, которые расположены на числовой прямой между заданными границами или по одну сторону от заданной границы.

Пусть \(a < b\). Тогда промежуток \([a; b]\) называется отрезком и задаётся условием \(a \le x \le b\). Оба конца входят в промежуток.

Например, \([2; 6]\) — это все числа от \(2\) до \(6\), включая \(2\) и \(6\).

Промежуток \((a; b)\) называется интервалом и задаётся условием \(a < x < b\). Концы в него не входят.

Например, в промежуток \((2; 6)\) входят числа между \(2\) и \(6\), но сами числа \(2\) и \(6\) не входят.

Промежутки \([a; b)\) и \((a; b]\) называются полуинтервалами. В записи \([a; b)\) левый конец входит, а правый не входит. В записи \((a; b]\) левый конец не входит, а правый входит.

Основные виды промежутков удобно запомнить так:

Бесконечные промежутки

Если множество чисел не ограничено с одной стороны, используют бесконечные промежутки.

Например, неравенство \(x > a\) записывают как \((a; +\infty)\), а неравенство \(x \ge a\) — как \([a; +\infty)\).

Аналогично, \(x < b\) записывают как \((-\infty; b)\), а \(x \le b\) — как \((-\infty; b]\).

Важно помнить: \(+\infty\) и \(-\infty\) не являются числами. Поэтому около бесконечности всегда ставится круглая скобка. Нельзя писать \([a; +\infty]\) или \([-\infty; b]\). Правильно: \([a; +\infty)\) и \((-\infty; b]\).

Как выбрать скобку

Скобка показывает, входит ли граница в промежуток.

Если граница входит, ставится квадратная скобка. Например, \(x \ge 3\) записывается как \([3; +\infty)\), потому что число \(3\) входит в множество решений.

Если граница не входит, ставится круглая скобка. Например, \(x > 3\) записывается как \((3; +\infty)\), потому что число \(3\) не входит в множество решений.

Для строгих неравенств \(>\) и \(<\) используется круглая скобка. Для нестрогих неравенств \(\ge\) и \(\le\) используется квадратная скобка у соответствующего числа.

Перевод неравенства в промежуток

Неравенство \(-2 \le x < 5\) задаёт все числа от \(-2\) до \(5\), причём \(-2\) входит, а \(5\) не входит. Поэтому его записывают так: \(x \in [-2; 5)\).

Неравенство \(x \ne 1\) означает, что подходят все действительные числа, кроме \(1\). Тогда множество решений записывают как

\[(-\infty; 1) \cup (1; +\infty).\]

Знак \(\cup\) означает объединение. То есть подходят числа из первого промежутка или из второго.

Главное

Нужно запомнить цепочку числовых множеств:

\[N \subset Z \subset Q \subset R.\]

Запись \(x \in A\) означает, что \(x\) принадлежит множеству \(A\). Запись \(A \subset B\) означает, что множество \(A\) является подмножеством множества \(B\).

Квадратная скобка показывает, что граница входит в промежуток, а круглая — что не входит. Около \(+\infty\) и \(-\infty\) всегда ставится только круглая скобка.