Анализ текстовых задач: как составить уравнение

Текстовая задача описывает некоторую реальную ситуацию с помощью слов. Чтобы решить её математически, нужно перевести условие задачи на язык чисел, выражений и уравнений.

Главная трудность обычно состоит не в решении самого уравнения, а в его правильном составлении. Для этого важно определить неизвестную величину, выразить через неё остальные величины и найти связь между ними.

Как перевести условие задачи на язык математики

Сначала нужно понять, что именно требуется найти. Искомую величину удобно обозначить через \(x\).

Например, если требуется найти количество товара, можно записать:

\(x\) — количество товара.

После этого остальные неизвестные величины выражаются через \(x\).

Если известно, что второго товара на 5 единиц больше, то его количество равно
\[x+5.\]

Если второго товара в 3 раза больше, то получаем
\[3x.\]

Если его в 3 раза меньше, то
\[\frac{x}{3}.\]

Важно различать выражения «на несколько больше» и «в несколько раз больше». В первом случае используется сложение, во втором — умножение.

Алгоритм составления уравнения

Большинство текстовых задач можно разобрать по одному плану.

1. Определить, что требуется найти.

2. Обозначить одну из неизвестных величин через \(x\).

3. Выразить остальные величины через \(x\).

4. Найти в условии связь между полученными величинами.

5. Составить уравнение.

6. Решить его.

7. Проверить, подходит ли полученное значение по смыслу задачи.

Последний пункт важен: не каждый корень уравнения обязательно подходит к исходной ситуации. Например, количество предметов не может быть отрицательным.

Как находить связь между величинами

Уравнение появляется из той части условия, где две величины можно приравнять или где известно их соотношение.

Например, известно, что вместе два числа дают 40. Первое число обозначили через \(x\), а второе на 6 больше:

\[x+6.\]

По условию их сумма равна 40, поэтому

\[x+(x+6)=40.\]

Именно равенство «сумма равна 40» превращается в уравнение.

Другой пример. Одно число в 4 раза больше другого, а их разность равна 21.

Пусть меньшее число равно \(x\). Тогда большее равно \(4x\).

По условию:

\[4x-x=21.\]

После составления модели текстовая задача превращается в обычное уравнение.

Как правильно выбирать неизвестную

Чаще всего через \(x\) удобно обозначать ту величину, через которую проще выразить остальные.

Например, если одно число на 7 больше другого, удобнее обозначить меньшее число через \(x\). Тогда большее сразу записывается как

\[x+7.\]

Если обозначить большее через \(x\), меньшее придётся записывать как

\[x-7.\]

Оба варианта математически правильные. Лучше выбирать тот, при котором выражения получаются проще.

Иногда в задаче несколько неизвестных величин, но это не означает, что обязательно нужно вводить несколько переменных. Если между величинами есть известная связь, часто все их можно выразить через один \(x\).

Какие слова помогают составить выражение

Некоторые формулировки в текстовых задачах почти сразу подсказывают математическое действие.

При этом нельзя составлять уравнение только по отдельным словам. Сначала нужно понять смысл всего предложения.

Короткий пример

В двух коробках находится 54 карандаша. Во второй коробке на 8 карандашей больше, чем в первой. Сколько карандашей в первой коробке?

Пусть

\(x\) — количество карандашей в первой коробке.

Тогда во второй коробке

\[x+8.\]

Всего карандашей 54, поэтому

\[x+(x+8)=54.\]

Решаем:

\[2x+8=54,\qquad 2x=46,\qquad x=23.\]

Значит, в первой коробке находится 23 карандаша.

Здесь уравнение получилось из условия о том, что количество карандашей в двух коробках вместе равно 54.

Проверка математической модели

После составления уравнения полезно ещё раз сравнить его с условием.

Нужно проверить:

— правильно ли выбрана неизвестная величина;

— правильно ли выражены остальные величины;

— не перепутаны ли «на несколько» и «в несколько раз»;

— действительно ли составленное равенство следует из условия;

— имеет ли полученный ответ смысл в исходной задаче.

Если математическая модель составлена неверно, даже правильно решённое уравнение приведёт к неправильному ответу.

Главное

— Текстовую задачу сначала нужно перевести с обычного языка на язык математических выражений.

— Одну из неизвестных величин обычно обозначают через \(x\).

— Остальные величины стараются выразить через \(x\).

— Уравнение составляют по связи между величинами, указанной в условии.

— «На несколько больше» означает прибавление, а «в несколько раз больше» — умножение.

— После решения уравнения нужно проверить, подходит ли найденное значение по смыслу задачи.