Алгоритм отбора корней в тригонометрии

В пункте 13б ЕГЭ нужно выбрать из общего решения только те корни, которые принадлежат заданному промежутку. Само тригонометрическое уравнение к этому моменту уже решено в пункте 13а.

Например, после решения уравнения могут получиться две серии корней:

\[x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Если требуется отобрать корни на промежутке \([a;b]\), каждую серию нужно проверить отдельно.

Для отбора используют два основных способа:

— двойное неравенство;

— тригонометрическую окружность.

Отбор корней с помощью двойного неравенства

Этот способ подходит для любого промежутка и обычно даёт наиболее строгую запись решения.

Пусть одна из серий корней имеет вид

\[x=x_0+Tk,\qquad k\in\mathbb Z,\]

где \(T\) — период функции.

Чтобы корень принадлежал промежутку \([a;b]\), должно выполняться условие

\[a\le x_0+Tk\le b.\]

Далее нужно решить двойное неравенство относительно \(k\) и выбрать только целые значения.

Если \(T>0\), получаем

\[\frac{a-x_0}{T}\le k\le\frac{b-x_0}{T}.\]

После этого найденные значения \(k\) подставляют в общую формулу корней.

Пример отбора через двойное неравенство

Пусть требуется отобрать корни уравнения

\[\sin x=\frac12\]

на промежутке

\[\left[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right].\]

Общее решение:

\[x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

Рассмотрим первую серию:

\[-\frac{\pi}{2}\le\frac{\pi}{6}+2\pi k\le\frac{5\pi}{2}.\]

Вычтем из всех частей \(\frac{\pi}{6}\):

\[-\frac{2\pi}{3}\le2\pi k\le\frac{7\pi}{3}.\]

Разделим на \(2\pi\):

\[-\frac13\le k\le\frac76.\]

Подходят целые значения

\[k=0,\qquad k=1.\]

Получаем корни

\[x=\frac{\pi}{6},\qquad x=\frac{13\pi}{6}.\]

Теперь рассмотрим вторую серию:

\[-\frac{\pi}{2}\le\frac{5\pi}{6}+2\pi k\le\frac{5\pi}{2}.\]

После преобразований получаем

\[-\frac23\le k\le\frac56.\]

Подходит только

\[k=0.\]

Следовательно, из второй серии получаем корень

\[x=\frac{5\pi}{6}.\]

Ответ:

\[\frac{\pi}{6},\qquad\frac{5\pi}{6},\qquad\frac{13\pi}{6}.\]

Отбор корней с помощью тригонометрической окружности

На окружности сначала отмечают точки, соответствующие решениям уравнения за один полный оборот.

Затем отмечают начало и конец заданного промежутка и двигаются от левой границы к правой в положительном направлении.

Нужно учитывать не только положение точки на окружности, но и количество совершённых оборотов. Одна и та же точка может соответствовать нескольким разным корням:

\[\frac{\pi}{6},\qquad\frac{13\pi}{6},\qquad\frac{25\pi}{6},\ldots\]

На одной окружности эти углы окажутся в одном месте, но численно это разные корни.

Если промежуток длиннее \(2\pi\)

Одна тригонометрическая окружность показывает только один полный оборот. Поэтому при промежутке длиной больше \(2\pi\) нельзя ограничиваться одной окружностью: часть корней может потеряться.

В этом случае нужно рисовать несколько окружностей:

— первая окружность соответствует первому полному или неполному обороту;

— вторая — следующему обороту;

— при необходимости добавляются третья и последующие окружности.

Проще говоря, на каждый полный или неполный оборот промежутка нужна отдельная окружность.

Например, длина промежутка

\[\left[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]\]

равна

\[\frac{5\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=3\pi.\]

Такой промежуток содержит один полный оборот и ещё половину следующего. Поэтому для наглядного отбора нужно использовать две окружности.

На первой окружности будут отмечены корни

\[\frac{\pi}{6}\qquad\text{и}\qquad\frac{5\pi}{6},\]

а на второй —

\[\frac{13\pi}{6}.\]

Какой способ выбрать

Двойное неравенство удобно, когда:

— промежуток длинный;

— общее решение содержит несколько серий;

— границы промежутка имеют сложный вид;

— требуется строгое алгебраическое обоснование.

Окружность удобна, когда:

— границы промежутка являются стандартными углами;

— нужно быстро увидеть расположение корней;

— промежуток небольшой;

— важно наглядно показать отбор.

В решении пункта 13б можно использовать любой корректный способ. Иногда удобно сначала проверить корни по окружности, а затем подтвердить результат двойным неравенством.

Главное

— В пункте 13б выбираются только корни, принадлежащие заданному промежутку.

— Каждую серию общего решения нужно проверять отдельно.

— Для серии \(x=x_0+Tk\) составляют двойное неравенство \(a\le x_0+Tk\le b\).

— После решения неравенства выбирают только целые значения \(k\).

— На окружности нужно учитывать количество полных оборотов.

— Если длина промежутка больше \(2\pi\), необходимо использовать несколько окружностей.

— Одна точка окружности может соответствовать нескольким различным корням.