Алгебраические выражения: раскрытие скобок, вынесение множителя, формулы сокращённого умножения

Алгебраические выражения состоят из чисел, переменных, знаков действий и скобок. В задачах ЕГЭ такие выражения нужно уметь преобразовывать: раскрывать скобки, выносить общий множитель, приводить подобные слагаемые и применять формулы сокращённого умножения. Эти действия помогают упростить выражение, разложить его на множители или подготовить к решению уравнения.

Алгебраическое выражение

\(\textbf{Алгебраическое выражение}\) — это запись, в которой могут быть числа, буквы и действия над ними.

Например:

\[3x^2-5x+7\]\[(a+b)^2-4ab\]

Буквы в выражениях обозначают переменные. Если вместо буквы подставить число, можно найти значение выражения.

Например, при \(x=2\):

\[3x+5=3\cdot 2+5=11.\]

Два выражения называются \(\textbf{тождественно равными}\), если они принимают одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Например,

\[2(x+3)=2x+6.\]

Раскрытие скобок

Раскрытие скобок основано на распределительном свойстве умножения:

\[a(b+c)=ab+ac.\]

Например,

\[3(x+4)=3x+12.\]

Если перед скобками стоит минус, знаки внутри скобок меняются на противоположные:

\[-(a+b)=-a-b,\]\[-(a-b)=-a+b.\]

Например,

\[5-(x-3)=5-x+3=8-x.\]

Если перед скобками стоит множитель, он умножается на каждое слагаемое внутри скобок:

\[-2(3x-5)=-6x+10.\]

После раскрытия скобок обычно приводят подобные слагаемые. Например,

\[4x-3(x-2)=4x-3x+6=x+6.\]

\(\textbf{Подобные слагаемые}\) — это слагаемые с одинаковой буквенной частью. Например, \(7x\) и \(-2x\) подобны, а \(x\) и \(x^2\) — нет.

Вынесение общего множителя

Вынесение общего множителя — это действие, обратное раскрытию скобок. Если несколько слагаемых имеют общий множитель, его можно вынести за скобки.

Например,

\[6x+9=3(2x+3).\]

Общий множитель может быть буквенным:

\[x^2+5x=x(x+5).\]

Или числовым и буквенным одновременно:

\[12a^2b-8ab^2=4ab(3a-2b).\]

Вынесение множителя особенно удобно, когда выражение нужно разложить на множители. Например,

\[x^2-3x=x(x-3).\]

Такое преобразование часто появляется в уравнениях, дробях и задачах на упрощение выражений.

Формулы сокращённого умножения

\(\textbf{Формулы сокращённого умножения}\) позволяют быстро раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители.

Основные формулы:

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\]\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\]\[a^2-b^2=(a-b)(a+b).\]\[(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.\]\[(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.\]\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).\]\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).\]

Например,

\[(x+5)^2=x^2+10x+25.\]\[(2a-3)^2=4a^2-12a+9.\]\[x^2-16=(x-4)(x+4).\]

Формулы можно использовать в обе стороны. Например, выражение \(a^2+6a+9\) можно свернуть в квадрат суммы:

\[a^2+6a+9=(a+3)^2.\]

А выражение \(25x^2-4\) можно разложить как разность квадратов:

\[25x^2-4=(5x-2)(5x+2).\]

Как применять в задачах

При упрощении выражений обычно удобно действовать по порядку: сначала раскрыть скобки, затем привести подобные слагаемые, после этого при необходимости вынести общий множитель или применить формулу.

Например,

\[2(x-3)+5(x+1)=2x-6+5x+5=7x-1.\]

Если выражение нужно разложить на множители, сначала ищут общий множитель, а затем смотрят, подходит ли формула сокращённого умножения.

Например,

\[3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).\]

Иногда формулу сокращённого умножения нужно распознать по виду выражения:

\[x^2-10x+25=(x-5)^2.\]

Здесь \(x^2\) и \(25\) — квадраты, а средний член \(-10x\) равен \(-2\cdot x\cdot 5\).

Главное

Раскрытие скобок выполняется по распределительному свойству: \(a(b+c)=ab+ac\). Если перед скобками стоит минус, знаки внутри скобок меняются. Вынесение общего множителя — это обратное действие: общая часть записывается перед скобками. Формулы сокращённого умножения помогают быстрее раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители. В задачах важно не просто знать формулы, а узнавать их в выражениях: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, сумму и разность кубов.