Векторы. Сложение и вычитание

В физике мы постоянно имеем дело с векторными величинами: скоростью, ускорением, силой, перемещением. Главная особенность вектора в том, что у него есть не только численное значение (модуль), но и направление. Поэтому векторы нельзя складывать или вычитать как обычные числа. Для этого существуют специальные геометрические правила.

Сложение векторов

Существует два основных геометрических способа сложения векторов, которые дают одинаковый результат.

1. Метод треугольника

Этот метод удобен, когда векторы нужно сложить последовательно.

1. От произвольной точки откладываем первый вектор a⃗\vec{a}.
2. От конца вектора a⃗\vec{a} откладываем второй вектор b⃗\vec{b}.
3. Результирующий вектор c⃗\vec{c} (сумма) проводится из начала первого вектора к концу второго.

c⃗=a⃗+b⃗\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}

2. Метод параллелограмма

Этот метод удобен, когда оба вектора приложены к одной точке (например, две силы действуют на одно тело).

1. Откладываем оба вектора a⃗\vec{a} и b⃗\vec{b} из одной общей точки.
2. Достраиваем фигуру до параллелограмма, проводя линии, параллельные исходным векторам.
3. Результирующий вектор c⃗\vec{c} — это диагональ параллелограмма, выходящая из общей точки начала векторов.

Вычитание векторов

Вычитание векторов сводится к сложению с противоположным вектором. Противоположный вектор −b⃗\vec{-b} имеет тот же модуль, что и b⃗\vec{b}, но направлен в строго противоположную сторону. a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})

Как найти разность геометрически (методом треугольника):

1. Откладываем оба вектора a⃗\vec{a} и b⃗\vec{b} из одной точки.
2. Вектор разности a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b} проводится от конца вычитаемого вектора (b⃗\vec{b}) к концу уменьшаемого (a⃗\vec{a}).

Модуль суммы векторов: три важных случая для ЕГЭ

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются три частных случая расположения векторов. Знание формул для них экономит время на экзамене.

1. Векторы сонаправлены (угол α=0∘α=0∘): Модули просто складываются. ∣c⃗∣=a+b|\vec{c}| = a + b

2. Векторы противоположно направлены (угол α=180∘α=180∘): Из большего модуля вычитается меньший. Направление результирующего вектора совпадает с направлением вектора, имеющего больший модуль. ∣c⃗∣=∣a−b∣|\vec{c}| = |a - b|

3. Векторы перпендикулярны (угол α=90∘α=90∘): Используется теорема Пифагора, так как векторы образуют прямоугольный треугольник. ∣c⃗∣=a2+b2|\vec{c}| = \sqrt{a^2 + b^2}

Задача 1: Сложение перпендикулярных сил

На тело действуют две силы: F1​=3 Н, направленная вдоль оси Ox, и F2​=4 Н, направленная вдоль оси Oy. Найдите модуль равнодействующей силы.

Решение: Поскольку силы перпендикулярны, используем теорему Пифагора для нахождения модуля суммы векторов: Fрез=F12+F22=32+42=25=5 НF_{\text{рез}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ Н}Fрез=F12+F22=32+42=25=5 НF_{\text{рез}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ Н}|\vec{c}| = \sqrt{a^2 + b^2}

Задача 2: Вычитание векторов скорости

Автомобиль движется на север со скоростью 20 м/с, а ветер дует на юг со скоростью 5 м/с. Чему равна скорость автомобиля относительно воздуха?

Решение: Скорость автомобиля относительно воздуха (vотн⃗\vec{v_\text{отн}}) равна разности скорости автомобиля относительно земли (va⃗\vec{v_a}​) и скорости ветра (vв⃗\vec{v_в}​):

vотн=∣20−5∣=15 м/сv_{\text{отн}} = |20 - 5| = 15 \text{ м/с}

Так как векторы противоположно направлены, их модули вычитаются: vотн⃗\vec{v_\text{отн}}​=∣20−5∣=15м/с

Направление результирующего вектора совпадает с направлением большей скорости (на север).

Типичные ошибки на экзамене

• Ошибка 1: Складывать модули векторов напрямую, игнорируя угол между ними. Это верно только для сонаправленных векторов.
• Ошибка 2: Путать направление вектора разности. Помните: при вычитании a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b} стрелка результата всегда указывает от конца b⃗\vec{b} к началу a⃗\vec{a}\vec{a} - \vec{b}a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b}\vec{a}
• Ошибка 3: Забывать, что при умножении вектора на отрицательное число (например, при вычитании) его направление меняется на противоположное, а модуль остается тем же.

Ключевые выводы

• Векторы складываются и вычитаются геометрически, а не арифметически
• Метод треугольника: конец первого к началу второго, сумма — от начала первого к концу второго.
• Метод параллелограмма: сумма — это диагональ, выходящая из общей точки начала векторов.
• Вычитание a⃗−b⃗\vec{a} - \vec{b} равносильно a⃗+−b⃗\vec{a} + \vec{-b}
• Для перпендикулярных векторов модуль суммы находится по теореме Пифагора.