Равноускоренное движение. Часть 2: путь без времени и ловушки графиков

Формула пути без времени: когда время не нужно?

В прошлой статье мы вывели основные уравнения равноускоренного движения. Но в задачах (особенно в ЕГЭ) часто бывает так, что время движения в условии не дано и в ответе не спрашивается. Чтобы не находить время через другие формулы и не усложнять вычисления, используют специальную формулу, связывающую скорость, ускорение и перемещение: S = (v² - v₀²) / 2a где:

• S — проекция перемещения (м)
• v — конечная скорость (м/с)
• v₀ — начальная скорость (м/с)
• a — ускорение (м/с2с^2)

Практический пример (Тормозной путь): Автомобиль едет со скоростью 20 м/с и начинает тормозить с ускорением -4 м/с². Какой тормозной путь он пройдет до полной остановки? Решение: Конечная скорость v = 0. S = (0² - 20²) / (2 · (-4)) = -400 / -8 = 50 м. Тормозной путь равен 50 метрам.

Главная ловушка ЕГЭ: Путь и перемещение на графике Vx(t)

На графике зависимости проекции скорости от времени Vx(t) и путь, и перемещение находятся через площадь фигуры под графиком. Но между ними есть принципиальная разница, на которой часто ловят в экзамене :

• Путь (l) — это сумма модулей всех площадей. Неважно, где находится фигура (выше или ниже оси времени), все площади берем со знаком +. Путь не может быть отрицательным!
• Проекция перемещения (Sx) — это алгебраическая сумма площадей. Если график выше оси t (Vx > 0), площадь берем со знаком +. Если ниже оси t (Vx < 0), площадь берем со знаком -.

Как считать площади: пошаговый алгоритм

Давайте разберем на конкретном примере, как не ошибиться. Представьте график, где:

• С 0 по 4 секунду скорость растет от 0 до 10 м/с (треугольник над осью).
• С 4 по 6 секунду скорость падает от 10 до -5 м/с (треугольник под осью).

Шаг 1. Находим геометрические площади фигур (S1 и S2):

• S1 (верхний треугольник) = 1/2 · 4 · 10 = 20 м
• S2 (нижний треугольник) = 1/2 · 2 · 5 = 5 м

Шаг 2. Считаем Путь: Путь = |S1| + |S2| = 20 + 5 = 25 м.

Шаг 3. Считаем Проекцию перемещения: Sx = S1 - S2 = 20 - 5 = 15 м.

Шаг 4. Считаем Модуль перемещения (если спросят): |Sх| = |15| = 15 м.

Свободное падение: частный случай равноускоренного движения

Частный случай равноускоренного движения — движение тела под действием только силы тяжести. Ускорение всегда равно g ≈ 9,8 м/с² (в задачах ЕГЭ часто округляют до 10 м/с²) и направлено вертикально вниз. Все формулы равноускоренного движения работают и здесь, просто подставляем a = g (или a = -g, если ось направлена вверх). Основные формулы свободного падения (без начальной скорости):

• Высота: h=gt2/2h = gt^2/2
• Скорость в момент времени t: v = gt
• Скорость при падении с высоты h: v=2ghv =\sqrt{2gh}

Типичные ошибки на экзамене

Ошибка 1: Забывать про знак при расчете перемещения. Если график уходит под ось времени, эту площадь обязательно нужно вычитать при поиске проекции перемещения. 

Ошибка 2: Путать путь и модуль перемещения. Путь всегда больше или равен модулю перемещения. Они равны только тогда, когда тело двигалось в одну сторону, не разворачиваясь.

Ошибка 3: Подставлять в формулу свободного падения ускорение со знаком минус, если ось Oy направлена вниз. Направление осей нужно выбирать в самом начале решения задачи!