Относительное движение

Относительное движение — это движение тел относительно системы отсчёта, которая в свою очередь двигается относительно неподвижной системы отсчёта. Простой пример: вы идёте по вагону поезда со скоростью 2 м/с. Поезд едет со скоростью 20 м/с относительно земли. Ваша скорость относительно земли будет зависеть от того, в какую сторону вы идёте: 22 м/с или 18 м/с.

Правило сложения скоростей

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчёта и скорости движущейся системы отсчёта относительно неподвижной. Математически это записывается так: v⃗=v⃗1+v⃗2\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2​, где:

• v⃗\vec{v} — скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта;
• v⃗1\vec{v}_1​ — скорость тела относительно подвижной системы отсчёта;
• v⃗2\vec{v}_2 — скорость подвижной системы относительно неподвижной.

Важно: поскольку скорости — векторные величины, их нельзя просто складывать как числа. Если они направлены в одну сторону, их модули складываются. Если в противоположные — вычитаются. Если под углом — используется теорема Пифагора или теорема косинусов.

Задача 1: Катер и течение реки (перпендикулярное движение)

Катер плывёт по прямой реке, двигаясь относительно берега перпендикулярно береговой линии. Модуль скорости катера относительно берега равен 6 км/ч. Река течёт со скоростью 4,5 км/ч. Чему равен модуль скорости катера относительно воды?

Решение: Скорость катера относительно берега (v⃗v⃗) направлена перпендикулярно течению. Скорость течения (v⃗2v⃗_2​) направлена вдоль берега. Скорость катера относительно воды (v⃗2\vec{v}_2​) является гипотенузой прямоугольного треугольника скоростей. По теореме Пифагора:v1=v2+v22v_1 = \sqrt{v^2 + v_2^2} Подставляем числа: v1=62+4,52=36+20,25=56,25=7,5 км/чv_1 = \sqrt{6^2 + 4{,}5^2} = \sqrt{36 + 20{,}25} = \sqrt{56{,}25} = 7{,}5 \text{ км/ч}

Задача 2: Движение по течению и против течения

Пароход движется по реке против течения со скоростью 5 м/с относительно берега. Определите скорость течения реки, если скорость парохода относительно берега при движении в обратном направлении (по течению) равна 8 м/с.

Решение: Обозначим:

• vпv_п​ — собственная скорость парохода (относительно воды);
• vтv_т​ — скорость течения реки.

Составим систему уравнений на основе правила сложения скоростей:

1. Против течения: vп−vт=5vп​−vт​=5v_п−v_т=5v_п​−v_т​=5
2. По течению: vп+vт=8vп​+vт​=8v_п+v_т=8v_п​+v_т​=8

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти скорость течения:(vп+vт)−(vп−vт)=8−5 = 3 м/с

2vт=3  ⟹  vт=1,5 м/с2v_{\text{т}} = 3 \implies v_{\text{т}} = 1{,}5 \text{ м/с}(v_{\text{п}} + v_{\text{т}}) - (v_{\text{п}} - v_{\text{т}}) = 8 - 5

Задача 3: Встречное движение автомобилей (работа с графиком)

Из двух городов навстречу друг другу с постоянной скоростью движутся два автомобиля. На графике показана зависимость расстояния между автомобилями от времени. Скорость первого автомобиля равна 15 м/с. Какова скорость второго автомобиля? Дано по графику:

• Начальное расстояние между автомобилями: S=144S=144 км.
• Время встречи (расстояние стало 0): t=120t=120 минут.

Решение:

1. Переведём единицы измерения в СИ: S=144 км=144 000 мS=144 км=144000 м t=120 мин=2 ч=7 200 сt=120 мин=2 ч=7200 с
2. При встречном движении скорость сближения равна сумме модулей скоростей: vсбл=v1+v2v_{\text{сбл}} = v_1 + v_2
3. Выразим скорость сближения через расстояние и время: vсбл=St=144 0007 200=20 м/сv_{\text{сбл}} = \frac{S}{t} = \frac{144\,000}{7\,200} = 20 \text{ м/с}
4. Найдём скорость второго автомобиля: v2=vсбл−v1=20−15=5 м/сv_2 = v_{\text{сбл}} - v_1 = 20 - 15 = 5 \text{ м/с}

Ключевые выводы

• Скорости всегда складываются как векторы, а не как обычные числа.
• При движении в одну сторону модули скоростей складываются.
• При движении в противоположные стороны модули скоростей вычитаются.
• При перпендикулярном направлении движений для нахождения модуля результирующей скорости используется теорема Пифагора.
• Скорость сближения при встречном движении равна сумме скоростей, а при движении в одну сторону (вдогонку) — их разности.